Nouvelle

Fi^. 119. — Construclion de la perpendiculaire construction de la en un point d'une droite.

perpendiculaire en

un point d'une droite. — Soit D la droite et A un point

de cette droite. D'un point quelconque O (lig. 1 njK décri-

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vons un cercle de rayon OA, qui coupe D en un second point B. Joignons BO qui coupe le cercle en C. AC est la peryendiculaire cherchée.

Car, BC étant un diamètre, l'angle BAC est droit.

172. — Théorème. — L'angle formé par deux cordes d'un cercle qui se coupent a même mesure que la demi-somme des arcs compris entre ses côtés.

Soient (fig. lao) BE et CD deux cordes d'un cercle qui se coupent en A. Joignons BD

L'angle DAE est extérieur au triangle ABD, il est donc égal (n*" 123) à la somme des deux

angles DBË et BDG qui ont respectivement pour mesures

(n" 167) -arc BC et- arc DE.

L'angle DAE a donc bien pour mesure :

lare BC -h -arc DE.

Fig.

173. — Théorème. — L'angle formé par deux sécantes à un cercle, qui se coupent en dehors du cercle, a même mesure que la demi-différence des arcs compris entre ses côtés.

Soient BC et DE, deux cordes d'un cercle dont les prolongements se coupent en A hors du cercle (fig. lai). Joignons CD. Dans le triangle

ACD, l'angle CDË, étant extérieur, est égal à la somme des angles intérieurs CAD

et ACD. On en conclut que l'angle CAD est égal à la difîérence entre les angles CDE et ACD qui ont respectivement mêmes mesures que - arc CE et - arc BD. Par

suite, l*angle CAD a même mesure que :

- arc CE — - arc BD.

174. — Segment capable. — D'après ce qui précède, si on considère (fîg. laa) un arc de cercle ACB, et si on joint un point quelconque M de Tare à ses extrémités A et

12». — Segment capable d'un angle donné.

B, Tangle AMB reste constant lorsque le point M se déplace sur Tare ACB, puisqu'il a toujours même mesure que la moitié de Tare ADB.

On appelle sci^ment de eercle

la portion du plan comprise entre nn arc de cercle et sa corde.

Étant donné un segment de cercle ACB (fîg. laa), soit a Tangle constant AMB ; le segment est alors appelé le segment capable de l'angle cl.

175. — Application. — Le lieu géométrique des points d'un plan d'oà Von voit un segment AB sous un angle donné se compose de deux arcs de cercle limitant les segments capables de cet angle ^ décrits sur AB,

Soit (fig. ia3) un segment rectiligne AB, et ACB le segment capable d'un angle « décrit sur AB. 11 est clair que le segment ACB symétrique par rapport à AB est également capable de Fangle a.

!• Tout point M situé sur l'arc ACB ou sur l'arc ACB

est un point de lieu, car l'angle BMA est égal à a (sa mesure est - arc BD A).

î»" Tout point non situé sur ces deux arcs ne fait pas partie du lieu.

Si on considère, en effet, un point M' situé à l'intérieur du segment ACB, l'angle AM'B est plus grand que a, car il a pour mesure

- arc BDA, augmenté de

- arc PQ ; et, si on considère un point M" situé à l'extérieur du segment, l'angle AM'B est plus petit que a, car sa mesure est

égale a - arc BDA diminué de -arc RS.

Fig. 123. — Lieu des points d'où l'on voit un ^

segment sous un angle donné. ^

Cas particulier. —

Lorsque l'angle donné a est droite les deux segments capables sont deux demi-cercles formant un cercle entier.

176. — Théorème. — Dans un môme cercle on dans des cercles égaux :

V Des arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales;

T Des arcs inégaux, plus petits qu'un demi-cercle, sont soustendus par des cordes inégales, et le plus grand arc est soustendu par la plus grande corde.

1" Soient AB et CD deux arcs égaux d'un cercle (fig. 124). <3S cordes sont évidcninicnt égales, car, par une rotation

Fig. 124. — Cordes égales.

autour du centre 0, on peut faire coïncider les deux arcs et par suite les deux cordes.

r Soient AA'B et CCD (fig.

laS) des arcs inégaux d'un même cercle, plus petits qu'un demi-cercle, et supposons

arc CCD > arc AA'B.

Faisons tourner l'arc CD autour de de manière à amener C en A, l'arc CCD prendra la position AA'E et le point B tombera entre A et E. Dans le triangle ABE, l'angle en B a alors même mesure que la moitié de l'arc ADEqui est plus grand qu'un demi-cercle ; il est donc obtus et, par suite, AE > AB.

Nous avons supposé que les arcs appartenaient à un même cercle. S'ils appartenaient à des cercles égaux, il suffirait, au préalable, de transporter l'un pour le faire coïncider avec l'autre.

177. — Réciproques. — Dans un même cercle ou dans des cercles égaux:

io Des cordes égales sons-tendent des arcs égaux;

2^ Des cordes inégales soustendent des arcs inégaux et la pins grande corde sous-tend le plus grand arc.

Tout cela résulte de suite de ce qui précède au moyen d'une démonstration par l'absurde.

17g. — Construction. — Construire sur une droite donnée un angle égal à un angle donné.

Soit AOB (fig. 126) un angle donné et O'A' une semidroite. De comme centre avec un rayon arbitraire décrivons un arc de cercle qui coupe les côtés de l'angle AOB en A et B. Du point 0' comme centre avec le même rayon

Fig. zs6. — Construction d'un angle égal à un angle donné.

(même ouverture de compas), décrivons un arc de cercle qui coupe O'A' en A'. Cela étant, prenons une ouverture de compas égale à AB et de A' comme centre décrivons un arc de cercle qui coupe l'arc tracé précédemment en B' :

L'angle B'O'A' est Vangte cherché.

En effet, les arcs A'B' et AB, appartenant à des cercles égaux, sont égaux puisque, par construction, les cordes AB et A'B' sont égales. Les angles au centre correspondants sont donc égaux.

179. — Remarque. — Le cercle décrit de A' comme centre coupe le premier, décrit de 0' comme centre, en deux points B' et B", de part et d'autre de A'. Il y a donc deux solutions au problème. Il n'y en aurait qu'une si on spécifiait par avance de quel côté de O'A' doit se trouver l'angle cherché.

180. — Théorème. — DevLx cordes égales d'un même cercle sont éqaidistantes du centre, et réciproquement deux ordes équidistantes du centre sont égales.

Soient AB et A'B' (fig. 127) deux cordes égales d'un même cercle, OH et OH' les perpendiculaires abaissées du centre sur elles. Les arcs AB et A'B' étant égaux (n'^lTô) on peut les amener à coïncider par une rotation autour du centre O.

Les cordes A'B' et AB coïncident alors et il en est de même des perpendiculaires OH et OH', puisque d*un point on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire sur une droite. On a donc :