OH = OH

Pip. i«7.

Réciproquement, si OH = OH', et si on effectue la rotation qui fait coïncider OH' avec OH, la corde A'B' viendra coïncider avec AB puisqu'elle deviendra perpendiculaire à OH en H, et qu'il n'y a qu'une telle droite.

181. — Théorème. — Toul diamètre d'un cercle est un axe de symétrie de ce cercle et partage en deux C

parties égales les cordes - ^^ ^'^^M

qui lui sont perpendiculaires.

Soit un cercle de centre 0, et AB un diamètre. Si l'on fait tourner le demicercle ACB (fig. ia8) autour de AB comme charnière, tout point M de ce demi-cercle viendra prendre la position symétrique M' par rapport à AB et la droite OM viendra coïncider avec OM'. La longueur O M'

ÉLÉMENTS DE GEOMETUIE.

est donc égale à OM» et M' est situé sur le demi-cercle ADB.

Le diamètre AB est donc un axe de symétrie puisque les points du cercle sont deux à deux symétriques par rapport à lui.

M et M' étant symétriques par rapporta AB, le diamètre AB est perpendiculaire au inilieu I de MM'.

D'ailleurs inversement les extrémités M et M' de toute corde perpendiculaire à AB sont évidemment symétriques, par rapport à AB, car elles coïncident dans le rabattement autour de AB comme charnière.

Le diamètre AB partage donc en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires.

182. — Corollaire. — La perpendiculaire abaissée du centre sur une corde partage cette corde et les deux arcs qu'elle sous-tend en deux parties égales.

C'est une conséquence directe de ce qui précède car cette perpendiculaire 01 à la corde MM' est un diamètre, axe de symétrie.

Les arcs MB et M'B ainsi que les arcs MCA et M'DA

(fig. ia8) sont égaux comme symétriques.

183. — Théorème. — Deux sécantes parallèles interceptent sur un cercle des arcs égaux.

Soient AA' et BB' deux cordes parallèles d'un cercle (fig. 129). Le diamètre CD perpendiculaire à ces ^'^s- '^9. deux cordes est (n° 181) un

axe de symétrie de la figure.

Les deux arcs symétriques AB et A'B' sont donc égaux.

184. — Construction. — ConstruirCy sur un segnv*nt de droite AB, un segment capable d'un angle donné a.