OR

On a : arc MBM' > arc PBF,

donc corde MM' > corde PP'.

La corde la plus longue est celle qui est la plus rapprochée du centre.

1S6. — Tangente. — Soit M un point d'un cercle (fig. i33). Prenons sur ce cercle un autre point M', traçons la sécante MM' et

imaginons que le ^^^^^^^ T

point M' se déplace sur le cercle en se rapprochant de M.

La sécante M M ' tournera autour du point M et passera par des positions successives MM", MM'", etc., telles que Tare sous-tendu devienne de plus en plus petit. A la limite, lorsque le point M' sera venu se confondre avec M, la sécante MM' occupera une position extrême MT qu'on appelle la tangente en M au cercle.

En d'autres termes :

La teBKente en an point d'un cercle est la limite des positions d'une sécante passant par ce point, et dont les deux points d*intersecUon avec le cercle se rapprochent indéfiniment jusqu'à se confondre,.

Fig. i33. — Tangente au cercle.

Le point de la tangente, suivant lequel les deux points d'intersection de la sécante sont venus se confondre, est ce qu'on appelle le point de contact.

La tangente n'a qu'un point commun avec le cercle, qui est son point de contact.

187. — Théorème. — La tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact.

Soit, en effet, MM' une sécante qui coupe le cercle en M et M' (Vig. i34}.

Menons le diamètre MOP du point M. L'angle inscrit

PMM' a (n* 167) même mesure que la moitié de l'arc PM'. Lorsque le point M', en décrivant le cercle, vient se confondre avec M, la droite MM' a pour limite la tangente MT; l'angle PMlil' a

Fig i34.

pour limite l'angle PMT et i

sa mesure - arc PM' a pour

limite : - demi-cercle MM'P. L'angle PMT a donc même

mesure qu'un demi-demircercle ou qu'un quadrant ; il est donc droit.

Remarque. — Au lieu de faire pivoter la sécante autour d'un point M on peut supposer qu'elle se déplace parallèlement à elle-même.

Supposons, en effet, que la corde MM' (fig. i35) se déplace parallèlement à elle-même de façon que sa distance OP au centre augmente, la corde (n* 185) diminuera.

LE CEKCLE.

lut)

Le point P décrit le diamètre AB qui partage en deux parties égales les cordes MM'. Lorsque P se rapproche de A, les deux points M et M' se rapprochent et la corde MM' tend vers zéi^o. A la limite, lorsque P estàTextrémite A du diamètre, les deux points M et M' sont tous deux confondus en A, la sécante est devenue la tangente AT qui est perpendiculaire en A sur le rayon OA.

Fi«(. x35.