OB = OA — AB = OA-0'A'=:R-B
R et R' étant les rayons des cercles. Or; O'B étant parallèle à AA' est perpendiculaire à OB et, par suite, tangente au cercle décrit de comme centre avec OB pour rayon.
D'où la construction :
De ccrnime centre y avec la différence R — R' des rayons des deux cercles comme rayon y on tra^e un cercle. De 0' on mène les tangentes O'B et O'C à ce cercle. Les rayons OB et OC prolongés coupent le cercle en A et D.
Les tangentes communes cherchées sont les parallèles AA' et DD' inenées par AetBà O'B et O'C.
Pour que la construction soit possible il faut que 0' soit extérieur au cercle auxiliaire, c'est-à-dire que
cela revient à dire (n* 195) que Tun des cercles n'est pas intérieur à l'autre.
a" Tangentes communes intérieures. — Soit A A' une tangente commune intérieure qui touche les cercles et O'en A et A' (fig. i45).
Les rayons OA et O'A' sont parallèles, mais de sens contraires. Une translation qui amène A' en A, amène O' en B sur le prolongement de OA. Les segments AB et A'O'sont parallèles et de même sens et, par suite,
OB=:OA-f AB = OA-t-0'A'=rR + R'.
La droite O'B est tangente au cercle décrit de comme centre avec la somme R -f R' des rayons des deux cercles pour rayon.
D'où la construction :
De O c(ym/me centre, avec la somme R -f R' des rayons des
1t6 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE.
deux cercles, comme rayon, on décrit vn cercle auxiliaire, auquel on mène de O' les tangentes O'B et O'C. Les rayons OB et OC coupent le cercle O en X et D. Les tangentes cliercliées sont les parallèles à O'B et O'C menées par A et D.
Fig. liS. — Construction des tangentes communes intérieures à deux cercles.
Pour que la construction soit possible il faut que 0' soit extérieur au cercle auxiliaire, c'est-à-dire que
ce qui exprime (n* 195) que les cercles sont extérieurs.
199. — Remarque. — Quand les cercles sont tangents extérieurement ((ig, 139), il n'y a qu'une tangente commune intérieure AT.
Quand les cercles sont tangents intérieurement (fig. i4i), il n'y a pas de tangente commune intérieure et une seule tangente commune extérieure AT.
§ 4. — Ca9 d^én^alité des triann^les.
200. — Triangles. — Dans un triangle quelconque il y a six éléments : trois angles et trois côtés.
Les trois angles ne sont pas indépendants car (n* 118) leur mme est égale à deux angles droits^ ou i8o». Il en résulte
que, dès qu'on connaît deux angles, on connaît le troisième qui est le supplément de la somme des deux autres.
Les trois côtés sont indépendants. Toutefois : Vun quelconque d*entre eux est plus petit que la somme des deux autres (n» 156) et plus grand que leur différence (n* 158).
Nous allons montrer qu'un triangle est déterminé dès qu'on connaît trois de ses éléments dont au moins un côté, c'est-à-dire qu'on sait construire ce triangle.
201. — Théorème. — Premier cas d'égalité. — Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun.
Soient, en effet, deux triangles ABC et A'B'C (fig, 146). Par hypothèse on a :
