BA = BA", CA = CA

Les points B et C sont donc équidistants de A et A" et, par suite, la droite BC est perpendiculaire au milieu de AA". Les deux triangles ABC et A"BC sont symétinques par

Fig. i5o. — Triangles égaux.

rappoi t à BC, donc (inversement) égaux. Il en est de même de ABC et A'B'C qui est identique à A"BC.

208. — Corollaire. — Il n'existe gu'un triangle ayant trois côtés donnés.

209. — Construction. — Construire un triangle connais" sant les trois côtés.

Soient a^bjC (fig. i5i) les trois longueurs données. Supposons que a soit la plus grande des trois. Traçons d'abord un segment BC égal à a. Puis, de B comme centre avec c pour rayon et de C comme centre avec 6 pour rayon,traçons deux cercles qui se coupent en A et A'. Le triangle ABC est le triangle cherché.

Le triangle A'BC répondrait aussi à la question, mais il st inversement égal au triangle ABC.

Pour que la construction soit possible il faut que les deux cercles se coupent. 11 faut donc que la distance des centres BC = a soit comprise entre la somme & H- c et la différence b — c des rayons (n* 233). Comme nous supposons que a est la plus grande des trois longueurs,

Fig. i5i. — CoDstruclion d'un triangle. — Troisième cas.

elle est certainement plus grande que b — c. La seule condition est donc

Il faut donc et il 'suffit que la plus grande des trois longueurs soit plus petite que la somme des deux autres.

Cette condition était à prévoir, puisque, dans un triangle, un côté est plus petit que la somme des deux autres (n" 156).

210. — Théorème ^ — Quand deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, si les angles compris sont inégaux, les côtés opposés le sont aussi, et au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

Soient ABC et A'B'C deux triangles tels que