B'A'C' = BAC

les triangles seraient égaux (n* 207) et si on avait

B'AX:'>BAC on aurait, d'après le théorème direct, B'ORC.

B'C ne pouvant être ni égal ni supérieur à BC est nécessairement plus petit que BC.

211. — Triangles rectangles. — Nous savons (n** 119) qu'un triangle ne peut pas avoir plus d'un angle droit ; il est dit rectangle lorsqu'il a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé Vbypoténuse : c'est le plus grand dès trois côtés (n* 150).

Dans un triangle rectangle il y a cinq éléments variables : trois côtés et deux angles aigus.

Les deux angles aigus sont complémenlaires (n" 120). Dès qu'on connaît l'un on connaît l'autre.

Un triangle rectangle est déterminé dès qu'on en connaît deux éléments dont au moins un côté, car on a alors un triangle dont on connaît ^^'ois éléments, à savoir : les deux éléments donnés et l'angle droit.

Les cas d'égalité des triangles ordinaires s'appliquent évidemment aux triangles rectangles.

Ainsi : deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont les deux cotés de l'angle droit égaux chacun à chacun. C'est le cas particulier du second cas d'égalité (n** 204) lorsque l'angle compris est droit.

Mais il y a des cas d'égalité, spéciaux aux triangles rectangles, qui ne sont pas des cas particuliers des précédents, et que nous allons exposer.

212. — Théorème. — Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont ïhjpoténuse égale et un angle aigu égal.

Soient ABC, A' B'C (fig. i53) deux triangles, rectangles en A et A'.

Par hypothèse :

B'C'-=Be et ABC:=A^C'.

Portons le triangle A' B'C sur le triangle ABC de façon que B'C coïncide avec son égal BC, B' étant en B, C en

C et A' du même côté de B'C que A. A cause de l'égalité des angles A' B'C et ABC, la semi-droite B'A' prendra la

li'ig. i53. — Triangles rectangles égaux.

direction BA. La droite C'A' deviendra alors (C étant en C) la perpendiculaire abaissée de C sur AB. Comme il n*y a qu'une telle perpendiculaire, C'A' coïncidera avec CA. Les deux triangles sont donc superposables, c'est-à-dire , égaux.

213. — Corollaire. — Il n*y a qu'un triangle rectangle ayant une hypoténuse et un angle aigu donnés.

214. — Construction. — Construire un triangle rectangle connaissant Vbypoténuse et un angle aigu.

Soient a la longueur donnée et à l'angle aigu (lîg. i54).

Fig. i54. — Construction d'un triangle rectangle.

Traçons d'abord un segment BC égal à a et par B menons semi-droite BA faisant avec BC l'angle donné a

(n" 178). Pour avoir le triangle rectangle cherché ABC, il suffît d'abaisser de C la perpendiculaire CA sur BA (n* 142).

215. — Théorème. —Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont Vhypoténuse égale et un côté de V angle droit égal.

Fig. i55. >- Triangles rectangles égaux,

Soient ABC, A'B'C {^^. i55) deux triangles, rectangles en A et A'. Par hypothèse on a :