Théorème. — Un

losange est un parallélogramme

dont les diagonales sont :

I* Perpendiculaires Vune sur

l'autre; q

!• Bissectrices des angles oppo- ^. ^

^. Fig. i6x. — Losange.

Le losange ABCD (fi%. i6i) est un larallélogramme parce

qu'il est convexe et que les côtés opposés sont égaux.

De plus, puisque BA = BC et DA = DC, BD est perpendiculaire au milieu de AC.

Toute diagonale BD est un axe de symétHe.

BD est perpendiculaire sur AG et est la bissectrice des angles B et D.

226. — Réciproque. — Un parallélogramme est un losange lorsque :

i"" Ses diagonales sont perpendiculaires; a** Une des diagonales est bissectrice des angles dont elle joint les sommets.

En effet, dans les deux cas, puisque les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, la condition exprime que l'une des diagonales AD (fig. i6i) est un axe de symétrie. On a donc :

AB = BC et AD = DC.

et, comme d'ailleurs,

BC = AD et GD = AB, comme côtés opposés d'un parallélogramme, les quatre côtés sont égaux.

227. — Théorème. — Un rectangle est un parallélo- . n gramme dont les dia- ^ gonales sont égales.

Le rectangle ABCD (fig. 162) est bien un parallélogramme puisque deux côtés D C opposés, AD et BC

Fiy. 162. — Rectangle. ,

par exemple, sont

parallèles comme perpendiculaires à un troisième AB.

La translation de glissière AB qui amène AD en BC fait

LES PAIULLËLOGHAMMES. ir»5

décrire au milieu F de AD la glissière FE parallèle à AB, perpendiculaire commuDe sur les milieux de AD et BC.

EF est donc un axe de symétrie pour la figure, et lès diagonales AG et BD sont égales par symétrie.