OM=:R
Nous allons d'abord résumer les principaux lieux géométriques que nous avons appris à connaître.
235. — Résumé. — i* Le lieu géométrique des points M situés à une distance donnée a d'une droite donnée D se cornpose de deux d/roites parallèles à D et équidistantes de D (n-» 155).
L'unique condition est ici,
ME = a.
a* Le lieu géométrique des points M situés à une distance donnée R d'un point donné est un cercle de centre 0.
Condition: OM = R.
3** Le lieu géométmque des points M situ£S à égale distance de deux points donnés A e/ B est la perpendiculaire au milieu de AB (nM39).
Condition : MA = MB.
4" Le lieu géométrique des points M situés à égale distance de deux droites est l'ensemble des deux bissectrices des angles formés par ces droites (n" 218).
Condition (fig. i54) : MP^MQ.
5' Le lieu géométrique des points M d'où l'on voit un segment donné AB sou^ un angle droit est le cercle décrit sur A t. comme diamètre (n" 175).
Condition : AMB = 9o".
6* Le lieu géométrique des points M d'oii l'on voit un segment donné AB sous un angle donné a est l'ensemble des deux seg-
ments capables de Pangle a décrits sur AB comme corde (n*175). Condition : AMB = a.
236. — Méthode des déplacements. — Il y a un grand nombre de lieux géométriques qui sont évidents lorsqu'on se sert des déplacements élémentaires.
Pour cela il faut bien se rappeler les faits essentiels des déplacements :
237. — Translation. — Dans une translation rectihgne tous les points de la figure mobile d*'cinvent des droites parallèles (glissières) (n**' Aà et 57) et de plus décrivent des segments égaux et de même sens.
Inversement :
Si une figure de forme invariable se meut de façon que' deux de ses points décrivent des droites parallèles, la figure est animée d'un mouvement de translation rectiligne et, par suite, tous ses autres points décrivent des droites parallèles aux précédentes.
Soient en effet A et B deux points d'une figure invariable F (fîg. 164) et supposons que A et B décrivent deux droites parallèles D et D'. Soient A' et B' deux nouvelles positions de A et B.
Dans le quadrilatère ABB'A' les %'^,.^ — ^ / côtés opposés A A'
et BB' sont parallèles et les côtés AB et A'B' sont égaux puisque ce sont deux positions d'une même droite.
LafigureABB'A' est donc ou un parallélogramme ou un trapèze isocèle. Or, il est clair que l'hypothèse du trapèze isocèle
Fig. i64.
LIKIIX GÉOMÉTRIQUES. CONSTRUCTIONS. 1,17
ABB'A' est à rejeter, car le point B ne pourrait aller de B' en B" (A' ne bougeant pas) sans quitter la droite D'.
La droite AB se déplace donc parallèlement à ellemême tandis que ses extrémités décrivent les deux glissières D et D'.
La figure F est donc bien animée d'un mouvement de translation rectiligne et tout point C décrit une droite.
238. — Rotation. — Dmis un mouvement de rotation dans un plan, autour d'un point, tous les points dune figure invariable décrivent des cercles concentriques et toutes les droites de la figure tomment du même angle {n" 80).
Inversement :
Si deuœ points d'une figure invariable décrivent deux cercles concentriques, la figure est animée d'un mouvement de rotation et, par suite, tous les autres points déanvent des cercles concentriques aicx premiers.
Car si deux points A et B (fig. i65) d'une figure invariable F décrivent deux cercles de même centre O, le triangle AOB dont les trois côtés AB, OA et OB conservent la même longueur reste (n" 207) invai^iable. Le point O étant fixe, ce triangle et, par suite, la figure F liée à AB, tournent autour de O.
239. — Exemples. — Ces deux remarques très importantes permettent, dans bien des cas, de voir immédiatement les lieux décrits par des points mobiles.
Ainsi :
Lorsque deux sommets d'un triangle invariable décrivent deux droites parallèles, le lieu du troisième sommet est une droite parallèle aux premières.
Flpr. i65.
Lorsque deux sommets d'un triangle invariable décrivent un même cercle, le lieu du troisième sommet est un cercle concentrique au premier.
240. — Autres méthodes. — Lorsqu'un déplacement élémentaire ne permet pas de suite de voir le lieu géométrique, on essaiera d'autres procédés.
Avant tout y il faut d'abord se rendre compte de la nature du lieu. On commencera donc d'abord par construire plusieurs points du lieu pour voir expérimentalement quel est le lieu. On verra donc, par expérience, si les points du lieu sont en ligne droite, s'ils sont sur un cercle ou non.
Lorsqu'on saura ce que c'est que le lieu, on cherchera une démonstration rigoureuse de l'exactitude du fait prévu expérimentalement.
Si le lieu prévu est une droite, on pourra chercher, par exemple, à prouver que la distance d'un point du lieu à une droite fixe est constante, ou encore que la droite qui joint un point quelconque du lieu à un point spécial du lieu fait un angle constant avec une droite fixe.
Si le lieu prévu est un cercle, et si on voit facilement la position de son centre, on essaiera de prouver que la distance d'un point du lieu à ce centre est constante, égale à une longueur fixe de la figure.
Si on n'aperçoit pas facilement le centre du cercle, et qu'on voie deux points A et B du lieu en évidence, on essaiera de prouver que l'angle AMB est constant.
241. — Constructions. — Méthode d'intersection des lieux géométriques. — Lorsqu'un point d'un plan satisfait à deiui^ conditions, c'est qu'il doit se trouver à la fois sur deux lioiix géométriques, il est donc à leur intersectioTK H est donc déterminé, ce qui veut dire qu'il n'y a ijuW ou un nombre limité de points (deux, trois, quatre) satisfaisant à ces deux conditions simultanées.
