LIEUX GÉOMÉTRIQUES. CONSTRUCTIONS

Si les deux lieux en question sont des droites ou des cercles, il suffira de les construire pour avoir les points cherchés.

Ceci conduit à la méthode suivante :

Pour construire un point satisfaisant à deux conditions :

I* On construit le lieu géométrique des points satisfaisant à la première condition ;

2" On construit le lieu géométrique des points satisfaisant à la seconde condition.

Tout point satisfaisant, à la fois^ aux deux conditions est un point d* intersection de ces deux lieux.

Nous avons déjà appliqué maintes fois ce procédé.

Ainsi, construire le cercle circonscrit à un triangle ABC (n* 190), revient à trouver un point (centre du. cercle) à égale distance de A, Bet C.

i* Comme OA = OB, le point est sur la perpendiculaire au milieu de AB (premier lieu) ;

a» Comme 06:= OC, le point est sur la perpendiculaire au milieu de BC (second lieu).

Le point est donc à l'intersection de ces deux perpendiculaires.

Exemple : Conêtruire un point situé à la distance a du point A et el à la distance h du point B.

Soit M le point, il satisfait à deux conditions :

Première condition : MA=a.

Donc M est sur le cercle décrit de A comme centre, avec a pour rayon (premier lieu).

Deuxième condition : MB = è.

Donc M est siu* le cercle décrit de B comme centre, avec b pour rayon (second lieu).

M est donc un point commun aux deux cercles.

2Â2. — Constructions. — Méthode analytique. — Il arrive souvent que la méthode précédente n'est pas applicable simplement, parce que les lieux géométriques ne sont ni des cercles ni des droites.

D'autre part, on peut avoir à construire d'autres éléments géométriques que des points.

On peut alors — et on doit presque toujours — suivre la méthode analytique.

Cette méthode consiste à supposer la constt^uction effectuée et à examiner sur la figure^ supposée construite^ ses propriétés.

Par exemple, lorsque nous avons voulu construire une tangente issue d'un point à un cercle, nous avons supposé le problème résolu. Examinant alors la figure (n* 196), nous avons vu que le rayon OT qui aboutit au point de contact, étant perpendiculaire sur la tangente

AT, Tangle OTA est droit et, par suite, que T se trouve sur le cercle décrit sur OA comme diamètre.

D'ailleurs cette construction se rattache aussi à la précédente, car le point T de contact est l'intersection de deux lieux.

EXERCICES PRATIQUES

71. Découper un triangle n'ayant que des angles aigus, l'appliquer en ABC, sur une feuille de papier, puis lui faire faire un demi-tour autour de BC pour amener A en A'; reprendre ABC, le faire tourner autour de CA pour amener B en B'; amener de même C en C.

Recommencer l'opération avec deux autres triangles, dont l'un a un angle droit, l'autre un angle obtus.

Vérifier chaque fois que AA', BB', CC, sont perpendiculaires aux côlés du triangle, et qu'elles passent par un même point H, intérieur au triangle dans le premier cas, extérieur dans le troisième, confondu avec un sommet dans le second.

Prendre les symétriques Ifj, Hj, Hj de ce point 11 par rapport à BC, CA, AB, élever aux milieux de AB et de BC des perpendiculaires qui se coupent en 0, et TÔrifier que le cercle de centre et de rayon OA passe par A, B, i;. H,. Ma, li-.

72. f,t>n&tniirtî im rectangle ABCD dans lequel AB=:6o, ADnra;; prfndrp sou !5vmfHi-j4jiie AB' CD' par rapport à AC, puis le symétrique A" D' C^ \}' de Alî' CD' par rapport à B' D'. Vérifier que AC, DB, D' B' et A* C sojit ^galflB et concourent au même point, centre d'un cercle passant pnr A, Dj:, n, n% C, A'' et C.

73. Conâlruire tin quadrilatère convexe ABCD, dont les angles opposés ' ifX f; sont droits: ,Mt:=3o; AD = 40; le triangle BCD est i>ocMe.

Prolonger DA en AE, de manière que AE=:a2,5; mener par E la parallèle XY à DB, et construire la figure symétrique de ABCD par rapport a XY. On commencera par déterminer le symétrique du point B, et on achèvera la figure en ne se servant que de la règle et de l'cquerre.

74. Tracer un cercle de 3o de rayon, mener un diamètre A OD, élever au milieu de OD une perpendiculaire qui détermine la corde BC. Figurer les symétriques du cercle par rapport aux trois côtés du triangle ABC.

EXERCICES THÉORIQUES

75. Deux triangles égaux étant disposés arbitrairement dans un même plan, démontrer qu'on peut les mettre en coïncidence en rendant parallèles deux côtés égaux, par une rotation de l'un d'eux autour d'un sommet, puis en employant une translation, suivie peut-être d'une symétrie par rapport à* une droite.

Quelle doit être l'espèce de ces triangles égaux pour que cette dernière symétrie soit inutile dans4ous les cas?

76- Tout pomt M pris sur la bissectrice d'un angle XOY est également distant de deux points A et B pris l'un sur OX, l'autre sur OY, et tels que OAz^-OB.

77. On donne un angle XOY et sa bissectrice OD; on prend deux points quelconques A et B symétriques par rapport à OD. Démontrer que les perpendiculaires abaissées de A et B sur OX et OY sont égales.

78. Etant donné un angle XOY, on prend sur OX deux longueurs quelconques OA et OB, et sur OY deux longueurs OA', OB' respectivement égales àOA et OB. Démontrer que les droites AB' et A'B se coupent sur

la bissectrice de l'angle XOY.

79. Si, dans un triangle rectangle, l'un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double du plus petit côté. •

80. Deux cordes d'un cercle également inclinées sur le diamètre qui passe par leur point de concours sont égales.

81. On prend dans un même cercle deux cordes égales AB et CD. Montrer que les droites AC et BD se coupent sur le même diamètre que liîs tiroïie» AB et CD.

82. Étant donnés deux points M et >' d'un même côté d'une droite AB, trouver sur cette droite un point tel que les droites MO et NO fassent lies angles égaux avec la droite AB.

83. Un rayon lumineux tombe sur une droite (miroir) mobile autour du point d'incidence. Montrer que le rayon réfléchi tourne d'un angle double de Tangle de rotation de la droite.

84. D'un point A comme centre, pris à l'intérieur d'un cercle sur le diamètre EC, on décrit un second cercle avec AO pour rayon. Il coupo lo

premier en un point B que l'on joint à A ; BÂ rencontre le cercle en D.

Démontrer que l'angle DOE est égal au triple de l'angle BOC.

85. On prolonge une corde ÂB d'un cercle d'une longueur BC égale au

/\ rayon, et l'on trace le diamètre COE. Prouver que l'angle BOC est le tiers

de l'angle EOÂ.

86. Par un point quelconque M de la base BG d'un triangle isocèle ABG entre B et G, on mène des parallèles aux côtés égjiux. Démontrer que le périmètre du parallélogranmie obtenu est constant, quel que soit M.

87. On donne une droite AB et aux points A et B on construit des semi-droites AX et BY, d'un même côté de AB, de manière que les angles XN /\

XAB et YBA soient égaux; sur AX et BY on porte les longueurs égales

AC et BD. Démontrer que GD est parallèle à AB.

88. On considère un triangle ABG dans lequel l'angle B est aigu et double de l'angle G. On trace la hauteur AD et on porte, à partir de Bsur AB et dans le sens AB, une longueur BE = BD. La droite ED rencontre A G en F. On demande de démontrer :

i^ Que les triangles ABG et EAF ont leurs angles égaux chacwi à chacun; 2** Que le point F est à égale distance des trois points A. D, G; 3» Que le côté AB du triangle est égal à la différence DG — DB. Mener et prolonger la bissectrice de l'angle B, et construire le rectangle ADGH.

89. Lieu géométrique des centres des cercles passant par deux points.

90. Gonstruire un triangle isocèle, connaissant la iMise et la hauteur.