AB 5 CD'~T

Considérons encore un carré EFGH (fig. 167) formé par lassemblage de 9 carrés égaux plus petits que lui. Pre-

V'ig;. 167. — Aires com m ensura blés.

nous 8 de ces petits carrés et assemblons-les de façon à former le rectangle ABCD. Chacun des petits carrés est le neuvième du grand carré EFGH et le rectangle conte-

nant 8 de ces petits carrés est les - du carré EFGH. Inversement, chacun des petits carrés est le huitième du rectangle, et Je grand carré EFGH, contenant 9 petits carrés

pareils, est les | du rectangle.

Nous dirons encore que le rectangle et le carré sont

deux grandeurs de même espèce (deux surfaces) qui ont

une commune m£sy/re, qui est Tun des petits carrés égaux,

n'ils contiennent chacun un nombre entier de fois.

'^ous dirons également que le rapport du rectangle

LKiNES PROPORTIONNELLES. IM»

ABCD au carré EFGH est-» et que le rapport du carré EFGH au rectangle ABCD est |- Et on écrira :

ABCD 8 EFGH 9 EFGH <j ^" ABCD 8*

Ces exemples nous conduisent à la définition suivante :

Deux grandeurs de même espèce sont dites rable* entre elles lorsqu^il existe une troisième grandeur de même espèce, appelée eommiine mesure, contenue exactement un nombre entier de fois dans chacune des deux premières.

On appelle rapport de deux grandeurs commensurables entre elles le nombre entier ou fractionnaire qui indique comment on construit la première connaissant la seconde.

Ainsi, dire que le rapport d'un segment CD à un segment AB est 4r c'est dire que CD est obtenu en portant bout à bout 4 segments égaux à AB.

Dire que le rapport de CD à AB est -» c'est dire que le segment CD

est obtenu en diyisant AB en 3 parties égales et portant bout à bout a de ces parties.

244. — Grandeurs incommensurables entre elles. — Deux grandeurs de même espèce sont dites Ineommensnrabies entre elles lorsqu'elles n'ont pas de commune mesure, c'est-à-dire lorsqu'il n'existe pas une troisième grandeur de même espèce qui soit contenue exactement un nombre entier de fois dans chacune d'elles.

Considérons deux segments rectilignes AB et CD (fîg. i68). Pour trouver leur rapport, nous devons chercher s'ils ont une commune mesure. A cet effet, divisons l'un d'eux. AB par exemple, en un certain nombre de parties égales (nous apprendrons plus loin, n''248, à faire ce partage).

Supposons que nous ayons partagé AB en lo parties. Cherchons combien CD contient de ces parties. Pour cela, portons, avec le compas à pointes sèches, à partir de C,

i60 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE,

sur CD, des longueurs égales à Tun des dixièmes de AB. Nous constatons que CD ne contient pas exactement un nombre entier de ces parties.

/ jP s 4 5 e 7 s 9 tç

C ËD F

Fig. i68. — Recherche d'une commune mesure.

Il en contient 6, mais n'en contient pas 7: en d'autres

termes, le point D tombe entre les divisions 6 et 7.

Le segment CD est plus grand que le segment

CE=i: — AB et est plus petit que le segment CF = -^ AB.

Nous dirons que — = 0,6 est une valeur approchée par

défaut à — près du rapport x-j^- Ce qui veut dire que les

— de AB sont plus petits que CD, mais que CD ne contient

pas un dixième de plus.

CD En prenant comme valeur du rapport j^ le nombre 0,6,

nous commettons une erreur, car la longueur CE, qui est égale 0,6 AB,est plus petite que CD, et elle en diffère de la longueur ED. Nous commettons donc, sur l'évaluation de

CD, une erreur égale à ED, plus petite que — AB.

Essayons alors de diviser AB en un plus grand nombre de parties égales. Partageons, par exemple, AB (fig. 18a) eti itïo [^arlies égales, et cherchons de nouveau si CD Contient exactement un nombre entier de ces parties.

Remarquons d'abord que, puisque

CD, contenant 6 dixièmes de AB, contiendra aussi 60 centièmes de AB ; et, comme CD ne contient pas 7 dixièmes de AB, il ne contiendra pas non plus 70 centièmes de AB. Le nombre de centièmes de AB contenus dans CD sera donc sûrement compris entre 60 et 70. Nous constatons,

iO tO iO kO 90 60 70 &0 90 100

tO 20 JC iO 30 se ôàfli

Fig. 169.

en opérant comme plus haut (fig. 169), que CD contient (non exactement) 64 centièmes, mais qu*il n*en contient pas 65. En d'autres termes, le point D tombe entre les divisions 64 et 65.

Nous dirons alors que — =0,64 est une valeur approchée par défaut du rapport tt^ à — près.

Ceci veut dire que si Ton • construit la longueur qui

vaut-^ AB, on obtient une longueur un peu plus petite

que CD, mais que CD ne contient pas un centième de AB de plus.

En prenant 0,64 comme nouvelle valeur approchée du

rapport -™. nous commettons encore une erreur ; mais

cette .fois Terreur est beaucoup plus petite que précédemment.

fi/ La longueur qui vaut les — de AB, diffère beaucoup

moins de CD (fig. 169) que celle CE qui valait les ^ de

AB (fîg. 168).

Nous pourrions maintenant continuer de la sorte ; di- Ik>imi.RTi — Ki.émf:nts ok giîom, i |

viser, par exemple, AB en looo parties égales et chercher combien CD contient de ces parties ; puis diviser AB en loooo parties, et ainsi de suite.

Si les deux longueurs CD et AB sont incommensurables entré elles ^ on n'arrivera jamais^ en théorie, à trouver une partie aliquote de AB qui soit contenue exactement un nombre entier de fois dans CD».

245. — Évaluation pratiqué d'un rapport. — Pratiquement, il en est autrement. Ainsi, dans Texempleprécédent, nous avons imaginé théoriquement qu'on ait divisé le segment AB en looo parties égales, tandis qu'en fait cette division serait impossible, au moins dans le dessin ordinaire, parce que, d'une part, chacune des parties serait tellement petite qu'elle no serait pas visible à l'œil nu et que, d'autre part, on ne pourrait pas tracer des traits de division assez fins.

Lorsqu'on se sert, pour mesurer des longueurs, d'une certaine catégorie d'instruments, il y a une limite de précision que l'on ne peut dépasser. Ainsi, avec le double décimètre, dont on se sert en dessin, on ne peut pas évaluer la longueur d'un segment rectiligneà moins de 1/4 ou i/5 de millimètre près ; c'est-à-dire que, à Fœil nu et avec cet instrument, on ne peut pas apprécier la différence entre . deux longueurs qui ne diffèrent que de 1/4 de millimètre: ces deux longueurs paraissent égales.

En physique, avec des instruments spéciaux, beaucoup plus précis, et des microscopes, on arrive à apprécier des longueurs beaucoup plus petites: jusqu'au millionièms de millimètre ; mais, malgré cela, il y a cependant une limite, et deux longueurs djfférant entre elles d'un millionième de millimètre ne sont plus différenciables.

De tout ceci, il résulte que : étant domiées deux grandeurs de même espèce on peut toujours pratiquement les considérer comme eommensurables entre elles, pourvu qu'on évalue Jeur

rapport avec suffisamment de décimales pour que V erreur que ro7i peut commettre sur une des grandeurs, connaissant l'autre, soit inférieure à celle qu'on peut faire expérimentalement en mesurant celte grandeur.

Dans la suite, à moins que nous ne voulions expressément prouver le contraire, nous admettrons toujours dans nos démonstrations que les grandeurs que nous aurons à considérer sont commensurables entre elles.

Nous donnerons plus tard des exemples de grandeurs incommensurables entre elles. Leur rapport exact n'est ni un nombre entier ni un nombre fractionnaire ; c'est ce qu'on appelle un nombre irrationnel; un tel nombre est toujours, en pratique, remplacé par une de ses valeurs approchées.

246. — Théorème. — Lorsque deux sécantes sont coupées par des droites parallèles, si les segments interceptés par ces droites parallèles sur Vune des sécantes sont égaux, les segments correspondants interceptés sur Vautre sécante sont aussi égaux.

Soient A et A' (fig. 170) deux sécantes et quatre parallèles AA', BB', ce, DD' qui rencontrent A en A, B, C, D et A' en A', B', C, D'.

Supposons que Ton ait