BD PE EF

bd de ef

Corollaire. — Si l'on avait BD = DE = EF = . . . , on aurait aussi bd=de — ef= [Note 36.]

Théorème V.

22o. Les parties de deux cordes. BC, DE, qui se coupent dans un cercle sont inversement proportionnelles (c'est-à-dire que les deux parties de l'une des cordes forment les deux extrêmes de la proportion et les deux parties de l’autre, les deux moyens).

Menons les droites BE, DC. Les angles BAE, DAC sont égaux, comme opposés au sommet, et les angles B, D sont égaux, comme étant inscrits dans le même segment (177); donc les triangles ABE, AÜC sont semblables et on a

AB AE AD - AC

Corollaire. — De cette proportion on tire AB X AC = AD X AE ;

donc le produit des deux parties de l’une des cordes est égal au produit des deux parties de l’autre.

Théorème VI.

22(5. Si d'un point A, pris hors d'un cercle, on mène deux sécantes AB, AD, les sécantes entières et leurs parties extérieures seront inversement proportionnelles.

Menons les droites BE, CD. Dans les triangles ABE, ADC, l'angle A est commun et les angles ABE, ADC sont égaux, comme inscrits dans le même segment; donc ces triangles sont semblables, et on a

AB AE AD ~ AC ’

Corollaire. — Donc le produit AB X AC = AD X AE.

. Théorème VU.

227. Si d’un point A, pris hors d’un cercle, on mène une sécante AB et une tangente AD, la tangente sera moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure.

Il6 GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE 111.

Menons les droites BD, CD. Dans les triangles ABD, ADC, l’angle A est commun, et les angles ABD, ADC sont égaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc CD; donc ces triangles sont semblables, et on a

AB AD AD AC ’

Corollaire. — Donc AB X AC = AD .

228. Remarque I. — On aurait pu déduire ce théorème du précédent, en regardant la tangente AD comme la limite des positions que prendrait une sécante tournant autour du point A; car à cette limite la tangente n’est autre qu’une sécante qui est devenue égale à sa partie extérieure.

Il résulte de là que les trois théorèmes ci-dessus ne sont que les cas particuliers d’une seule proposition qui peut s’énoncer des deux manières suivantes :

i° Si par un point, pris dans le plan d'un cercle, on mène deux sécantes, les distances de ce point aux deux points d’intersection de chaque sécante avec la circonférence seront inversement proportionnelles.

■ 2° Si, par un point pris dans le plan d'un cercle, on mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux deux points d’intersection de chaque sécante avec la circonférence sera constant. Et on pourrait ajouter : que ce produit est égal à celui des normales abaissées du point sur la circonférence, et qu’il est aussi égal au carré de la tangente menée du point à la circonférence, lorsque ce point est pris hors du cercle.

229. Remarque II. — Ce dernier théorème peut servir à trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites données a, b.

Après avoir pris sur la droite Ax AB = «, AC =£>, faisons passer une circonférence quelconque par lesdeux points B, C, et menons AD tangente à cette circonférence; AD sera la droite demandée.

Car celle tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante AB et sa partie extérieure AC. [Note 36.]

Tiiêoréme VIII.