Construire un carré équivalent à un polygone donné

i° Supposons que le polygone donné soit un rectangle, ayant pour base b et pour hauteur h, et désignons par x le côté du carré cherché; on doit avoir

Donc le côté du carré équivalent au rectangle est une moyenne proportionnelle entre b et h.

On verrait de même que le côté du carré équivalent à un parallélogramme, ou à un 'triangle, ou à un trapèze, est une moyenne proportionnelle entre la base et la hauteur du parallélogramme, ou entre la base et la moitié de la hauteur du

triangle, ou entre la hauteur et la demi-somme des bases du trapèze.

20 Quel que soit le polygone donné, on le transformera d'abord 'en un triangle équivalent ( 194) et on retombera dans le premier cas. [Note 37.]

S II. — RELATIONS ENTRE LES COTÉS ET DIVERS AUTRES ÉLÉMENTS DTN TRIANGLE OU D'UN QUADRILATÈRE

Définitions.

La projection d’un point A sur une droite xy est le pied de la perpendiculaire AA', abaissée de ce point sur la droite. Un point situé sur xy est lui-même sa projection sur cette droite.

-JC

236. On appelle projection d’une droite AB sur une autre xy, la droite A' B' comprise entre les projections des extrémités de AB sur xy.

En général, une droite AB est plus grande que sa projection; car, en menant AC parallèle à xy, on a AB>AC et par suite AB>A'B'. Si la droite était parallèle ou perpendiculaire à xy, sa projection lui serait égale ou elle serait nulle.

Remarque. — Dans un triangle rectangle, la projection de l’un des côtés de l’angle droit sur l’autre est nulle, la projection de l’hypoténuse sur un des côtés de l’angle droit n’est autre que ce côté, et les projections des côtés de l’angle droit sur l’hypoténuse sont les segments déterminés par la perpendiculaire abaissée sur l’hypoténuse du sommet de l’angle droit, dont il a été question dans le dernier des théorèmes qui précèdent.

237. On dit qu’un triangle est acutangle, lorsque ses trois angles sont aigus, et qu’il est obtusangle, lorsque l’un de ses angles est obtus.

Observation. — Dans ce paragraphe on a principalement pour but d’établir des relations d’égalité, au moyen desquelles on pourra calculer les valeurs de certains éléments d'un triangle ou d’un quadrilatère, lorsqu’on connaîtra les mesures d'un nombre suffisant d’autres éléments; ainsi, dans la Note 3g, on verra comment on calcule : les hauteurs, la surface, les méthanes, les bissectrices, etc., d’un triangle, lorsqu’on connaît ses trois côtés; de même, dans la Note 43, on calculera les diagonales, la surface, etc., d’un quadrilatère inscrit en fonction de ses quatre côtés. Toutefois, ce paragraphe n’est pas moins important sous le rapport des problèmes graphiques qu’il sert à résoudre, et on pourra remarquer que ces problèmes dépendront particulièrement du premier théorème que nous allons démontrer.

Théorème I.

238. Le carré de l’ hypoténuse BC d'un triangle rectangle ABC est égal à la somme des carrés des deux autres côtés AB, AC.

Du sommet A de l’angle droit, abaissons sur l'hypoténuse la perpendiculaire AD. Chaque côté de l’angle droit sera moyen proportionnel entre l’hypoténuse et le segment qui lui