CD

donc les carrés faits sur les côtés de l’angle droit sont entre

eux comme les segments adjacents à ces côtés, ou comme les projections de ces côtés sur i hypoténuse.

239. A titre démonstration. — On peut démontrer la relation importante qui existe entre le carré fait sur l’hypoténuse et les carrés faits sur les côtés de l’angle droit, sans se fonder sur les triangles semblables et sur le choix de l’unité de surface.

Pour cela, je construis sur les trois côtés BC., AB, AC, les carrés BCDE, ABFG, ACKH, et j’abaisse sur l’hypoténuse BC la perpendiculaire AM, que je prolonge jusqu’à la rencontre de ED, au point N ; alors le carré BCDE est divisé en deux rectangles BMNE, CMND, et la proposition sera démontrée, si l’on fait voir que ces rectangles sont respectivement équivalents aux carrés faits sur AB et sur AC.

Or, si on mène les droites AE, FC, le triangle ABE sera égal au triangle FBC; car les angles ABE, FBC, sont égaux, comme étant composés chacun d'une partie commune ABC et d’un angle droit, et les côtés AB, BE, sont égaux aux côtés FB, BC, chacun à chacun, comme côtés d’un même carré.

D’ailleurs, le triangle ABE et le rectangle BMNE ont même base BE et même hauteur MB, puisque le sommet A du triangle est situé sur le prolongement de NM, et de plus, le triangle FBC et le carrré ABFG ont même base BF et même hauteur AB, puisque le sommet C du triangle est situé sur le prolongement de GA ; donc les triangles ABE, FBC, sont respectivement équivalents aux moitiés du rectangle BMNE et du carré ABFG, et, comme les triangles sont égaux, il s’ensuit que le rectangle BMNE est équivalent au carré ABFG.

On démontrerait de même, en menant les droites AD, BK, que le rectangle CMND est équivalent au carré ACKH.

Donc, le carré BCDE fait sur l' hypoténuse est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés AB, AC.

Corollaire. — De cette démonstration on conclut facilement les deux propositions établies à la fin du n° 238.

Car le carré BCDE et le rectangle BMNE ont même hauteur MN ; donc ils sont entre eux comme leurs bases et on a

BCDE BC BMNE BM BCDE BC

°U ABFG — BM ’

on aurait de même

BCDE BC AÜKlï — CM '

Donc, i° le rapport du carré fait sur l’hypoténuse au carré fait sur l’un des côtés de l'angle droit est égal au rapport de l’hypoténuse au segment adjacent à ce côté.

De plus, les rectangles BMNE, CMND ont aussi même hauteur MN, donc on a

BMNE BM CMND — CM

ABFG BM

°U ACKH “ CM ’

Donc, 2° le rapport des carrés faits sur les côtés de l’angle droit est égal au rapport des segments de, l’hypoténuse adjacents à ces côtés, ou égal au rapport des projections de ces côtés sur l'hypoténuse.

240. Remarque. — Si on représente par a, b, c, les côtés BC, AC, AB, du triangle ABC, rectangle en A, on aura

a’ — b’-hc1;

et cette égalité donne le moyen de calculer B c un côté d'un triangle rectangle, lorsqu’on

connaît les deux autres.

D’ailleurs, comme l’aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des côtés de l’angle droit, il s’ensuit que cette aire est facile à calculer, du moment qu’on connaît deu/des côtés du triangle.

Observation. — Ce théorème remarquable est attribué à Pythagore.

PïTnAGORE, philosophe grec, né à Samos, vers 6o8 selon les uns, en 58o selon d’antres, voyagea longtemps pour s’instruire, séjourna quelque temps en Égypte, et alla, vers l’an 54o avant l’ère vulgaire, s'établir à Crolone, en Italie, où il fonda une école nouvelle, qui prit du lieu de sa résidence le nom d 'école italique.

Si au théorème do Pythagore on joint celui de Thaïes, on aura les deux propositions les plus importantes et les plus fécondes de la Géométrie. Car les propositions qui vont suivre se rattacheront en grande partie à celle du carré de l'hypoténuse, et on a pu reconnaître que le premier cas de similitude des triangles a servi pour démontrer les trois autres, pour démontrer les propriétés des polygones semblables et pour établir la théorie des droites proportionnelles.

De plus, le théorème de Pythagore se démontre facilement au moyen des triangles semblables; donc, en définitive, le théorème de Thaïes peut être regardé comme la proposition qui sert de base à toutes celles qui la suivent : il suffit soit par lui-même, soit par ses conséquences, à toutes les applications et à la résolution de la plupart des problèmes.

ia4 GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE III.

J utrc observation. — La seconde démonstration du théorème île Pjt/iagore, donnée ci-dessus, se trouve dans les éléments de Géométrie d'Euclide.

Euclidb, célèbre géomètre grec, enseigna les mathématiques à AJexandrie, vers 3ao avant l'èro vulgaire. On ignore quelle fut sa patrie; on ne connaît pas mieux les événements de sa vie; on dit seulement qu'il avait étudié à Athènes sous les disciples de Platon, et qu'ensuite il se fixa en Égypte. [Note 38.]

Problème I.

241. Construire un carré équivalent ù la somme de deux carrés donnés a7, b7.

Je fais un angle droit A, je prends AB = a, AC =-b, et je

mène la droite BC qui est le côté du carré cherché. Car le triangle rectangle ABC donne

BC =Ab'-+-Âc‘

Remarque. — En répétant cette construction on peut trouver un carré équivalent à la somme d'autant de carrés qu’on voudra.

Ainsi le dernier problème du paragraphe précédent et celui-ci donnent le moyen de construire un carré équivalent à la somme de plusieurs polygones donnés.

Problème II.

242. ( ons traire un carré équivalent à la différence de deux carrés donnés a7, b7.

Je fais un angle droit A, je prends AB = b, c’est-à-dire égal

A (Al B

le côté du carré cherché. Car

au côté du plus petit des carrés donnés, et du point B comme centre, avec l'autre côté a pour rayon, je décris un arc qui coupe A y c au point C; alors AC est on a