DE DC

ou

DF

ni

Remarque /. — Pour construire un carré dont le rapport à

un carré donné «’ soit par exemple, on porte d'abord sur Ax

une longueur arbitraire 5 fois, ce qui détermine une droite telle que AB, puis à la suite celte même longueur 3 fois, ce qui détermine une seconde droite telle que BC, et la question est ainsi ramenée à la précédente.

Remarque II. — Lorsque le carré cherché doit être plus petit que le carré donné ABCD, ou lorsqu’on a m < n, on emploie souvent la construction suivante.

Sur une droite indéfinie Ax, partant du point A, on prend AE = m, AF = n ; on joint le point F au point B, par le point E on mène EG parallèle à FB, et on a

AG ni

AB - n'

ia6 GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE III.

Ensuite sur AB, comme diamètre, on décrit une demicirconférence, on élève à AB la perpendiculaire GH, et la

corde AH est le côté du carré

cherché.

Car le triangle ABH, rectangle en II, donne

Ali'

àb’

AG

AB’

ou

Observation. — On a vu comment on trouve deux droites dont le rapport soit égal à celui de deux rectangles donnés, à celui de deux polygones donnés (233). Mais les corollaires du théorème de Pvthagore donnent de nouveaux moyens de résoudre ce problème, lorsqu'il s’agit de deux carrés a2 et b2.

Théorème II.

2 H. Dans tout triangle, le carré d’un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier.

Soient le triangle ABC, dont l’angle C est aigu, et AD perpendiculaire surBC; je dis qu’on aura

ÂB = ÂCV BC* — 2BC X ne.

Car le triangle ABD étant rectangle en Ü. on a

ÂÏÏ’= Aü'+BÏ);

mais la hauteur AD et le segment BD n’entrent pas dans l’égalité cherchée et, par conséquent, il faut les éliminer. Or AI) est un des côtés de l’angle droit du triangle rectangle ADC, et Bl) est la différence des deux droites BC, DC; donc

âd* = ac! — ne1

ct BD^ BC’ + DC3 — aBCxDC (198).

Portant ces valeurs à la place de AD et de BD dans la première égalité et remarquant que les termes — DC ct -H DC se

RELATIONS DIVERSES. l-Jf)

détruisent, il vient

AB = Xc -t- BC,’ — a BC X DC.

Remarque I. — Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle, la démonstration ne changera pas.

La perpendiculaire, abaissée du sommet A sur BC, se confond avec AB dans le cas où l’angle B est droit ; alors l’égalité à démon-

X trer est

ÂB=ÂcVBC-aBCx BC,

ou AB = AC — BC ,

ce qui résulte immédiatement du théorème 11 c de Pjthagore.

Remarque II. — En raisonnant comme dans le corollaire du n° 238, on peut dire aussi que, dans tout triangle le carré fait sur un côté opposé à un angle aigu est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés, moins deux fois le rectangle construit sur l’un de ces côtés et la projection du second sur le premier.

TuEorEme 111.

215. Dans tout triangle obtusangle, le carré du côté opposé à l'angle obtus est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection du second sur le premier.

Soient le triangle ABC, dont l'angle C est obtus, et AD perpendiculaire sur le prolongement de BC ; je dis qu’on aura

ÂB’= ÂCV BC -h aBC X CD.

Car le triangle ABD étant rectangle en I), on a

AÎS = Âî) ÏÏÏ) ;

d’ailleurs AD est le côté de l’angle droit du triangle rectangle ADC et BD est la somme des deux droites BC, CD; donc

Âd’ = Âc’— CD'

et BD^BcVcD’-hîBCxCDfiaS).

Remplaçant dans la première égalité AD et BD par leurs valeurs et réduisant, il vient

AlT= ÂcV BC + aBC X CD.

Remarque 1. — On peut dire aussi que, dans tout triangle obtusangle, le carré fait sur le côté opposé à l'angle obtus est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés, plus deux fois le rectangle construit sur l’un de ces côtés et la projection du second sur le premier.

2iG. Remarque 11. — Les trois théorèmes précédents donnent lieu à celte réciproque : Un triangle est rectangle, acutangle ou obtusangle, selon que le carré du plus grand de ses côtés est égal à la somme des carrés des deux autres, plus petit ou plus grand que cette somme.

Exemples :

i° Soient a, b, c, les côtés d'un triangle, opposés aux angles A, B, C, et supposons qu’on ait a — 5, b = 4> c= 3. On aura

a1 = 2.5, l>' = 16, cJ = 9; d’où «’ = ôJ4- c1;

donc le triangle est rectangle en A. Car, si cet angle était aigu ou obtus, on aurait

o1 <C ô’ c’, ou n1 > b’ -+- c *.

2” Supposons qu'on ail <1 = 9, b = 12, c — 5; on aura

d’où

donc l’angle B est obtus. [Note 3g.]

Théorème IV.

2V7. Dans tout triangle ABC, la somme des carrés de deux côtés AB, AC est égale à deux fois le carré de. la médiane AD qui correspond au troisième côté, plus deux fois le carré de la moitié de ce même côté.

Car, en abaissant AE perpendiculaire à BC, l'angle ADE du a triangle rectangle AED sera aigu et son ad-

jacent ADB sera obtus; donc