BD BA DC — AC

Réciproquement, supposons qu’on ait BD BA DC — AC'

En faisant la même construction, il vient

BD BA

DC — AE’

et, à cause du rapport commun on conclut que AC = AE ;

donc le triangle ACE est isocèle, et, par conséquent, l’angle AEC = ACE. Or, ces angles sont respectivement égaux aux angles DAx, DAC; donc AD est la bissectrice de l’angle CAx.

Remarque II. — Si le triangle ABC était isocèle, l’angle DAx, moitié de l’angle extérieur CAx, serait égal à l'angle B et par suite AD D serait parallèle à BC; donc il n’y aurait plus lieu de s’occuper des segments déterminés sur BC par la bissectrice AD.

Réciproquement, si la bissectrice AD de l’angle extérieur CAx est parallèle à BC, les angles B, C seront respectivementégaux aux angles DAx, DAC; * donc le triangle ABC sera isocèle.

Donc, lorsqu’un triangle ABC n'est pas isocèle, la bissectrice AD de l'angle extérieur CA a: doit rencontrer le côté BC prolongé. [Notes 3q et 42.]

TnfoRfcME VI.

230. Le produit de deux côtés AB, AC, d’un triangle est égal au produit des segments BD, DC, déterminés sur le troisième côté par la bissectrice AD de l’angle compris entre les deux premiers côtés, plus le carré de cette bissectrice.

Prolongeons la bissectrice AD jusqu’à la rencontre de la circonférence circonscrite au triangle ABC, au point E, et joignons BE. Les angles BAE, DAC, seront égaux par hypothèse et les angles BEA, DCA, auront môme mesure; donc les triangles ABE, ADC, sont semblables et 011 a

AB AE AD~~ AC’

d'où ABXAC = AEXAD

= (ED-b AD) AD = EDXAD + aTV .

Mais, AE et BC étant deux cordes qui se coupent, le produit ED X AD = BD x DC ( 225 ); donc