ED X AD — AD
l3z. GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE III.
Mais, DE et DB étant deux sécantes, le produit
ED X AD = BD X DC (226); donc AB X AC = BD X DC — AD .
Remarque II. — Si le triangle inscrit ABC était isocèle, lu bissectrice AD' de l’angle BAC passerait par le centre O et, comme elle doit être perpendiculaire à la bissectrice AD de l’angle extérieur CAjc ( 114), il s’ensuivrait que AD serait tangente à la circonférence.
Réciproquement, supposons que la bissectrice AD soit tangente à la circonférence ; alors, comme elle doit être perpendiculaire à la bissectrice AD', il s’ensuit que AD' passera par le centre; d’ailleurs, la bissectrice AD' de l’angle BAC doit passer par le milieu de l’arc BMC; donc AD' sera perpendiculaire sur le milieu de la corde BC, et par conséquent le triangle ABC sera isocèle.
Donc, lorsqu’un triangle inscrit ABC n’est pas isocèle, la bissectrice AD de l’angle extérieur CAx rencontrera toujours la circonférence en deux points A et E. [Notes 3q et 42-]
Théorème VII.
251. Dans tout triangle ABC, le produit de deux côtés AB, AC, est égal au produit de la hauteur AD, abaissée sur le troisième côté, par le diamètre AE du cercle circonscrit.
Menons la droite BE; les angles ABE, ADC, seront égaux comme droits et les angles E, C, seront inscrits dans le même segment ; donc les triangles ABE, ADC sont semblables et on a
AE
d’où
AB AD
AB x AC = AD X AE.
AC’
Corollaire. — Multipliant les deux membres de cette égalité par le troisième cûté BC, il vient
AB X AC x BC =AD X AE x BC ; or, BC X AD est le double de l’aire du triangle ABC; donc AB X AC X BC = ABC X aAE.
Donc le produit des trois côtés d'un triangle est égal à sa surface multipliée par le double du diamètre ou le quadruple du
rayon du cercle circonscrit (en supposant toutefois qu’on prenne pour unité de surface le carré construit sur l’unité de longueur).
Remarque /. — En désignant les côtés BC, AC, AB, par a, b, c, la surface par S et le rayon du cercle circonscrit par R, l’égalité précédente devient
abc = 4 RS.
252. Remarque II. — 11 est facile d’obtenir aussi une relation entre les trois côtés a, b, c du triangle ABC, sa surface S et le rayon OU ou r du cercle inscrit.
Car le triangle ABC est la somme des triangles BOC, COA, AOB, qui ont pour bases les côtés BC, CA, AB, et pour hauteur commune le rayon OD; donc on a
ABC = BCx-OD-f-ACx-OD-+-ABx-OD, 2 2 2
= ( BC -l- CA -b AB ) X OD, ou S = (a 4- b -1- c) X - •
Ainsi, r aire d’un triangle est égale à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle inscrit. [Note 3y.]
Tiiêokèse VIII.
253. Dans tout quadrilatère ABCI), la somme des carrés des quatre côtés est égale A la somme des carrés des diagonales, plus quatre fois le carré de la droite EF qui joint les milieux de ces diagonales.
Car, dans les triangles ABC, ACU, EBD, les droites RE, DE, EF, sont des médianes; donc on a (247)
AlT + BC ’ == aBË’ -+- aÂË’ ,
CD ’ -I- DÂJ = a DE 2ÂE ,
2 SI J -I- 2 DË’ = 4 ËF5 -h 4 BF1 .
Ajoutant ces égalités membre à membre, supprimant de part et d’autre 2 BE +2 DÉ et remplaçant 4AE par AC , 4BF par BD ( 195), il vient
âb' +bc: h-cïV + da’ = âc' bdj-+-4ëf\
Corollaire. — Si le quadrilatère était un parallélogramme, la somme des carrés des quatre côtés serait égale à la somme des carrés des diagonales; et réciproquement.
Ainsi le rapport de AC à AB ne peut s’exprimer ni par un nombre entier, ni par une fraction ; donc la diagonale et le côté d'un carré sont deux lignes incommensurables (162).
Théorème X.
256. Dans tout quadrilatère inscrit ABCD le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
Faisons l’angle DAE égal à l’angle BAC, et soit E le point de rencontre de AE avec la diagonale BD. Dans les triangles ABC, AED, les angles BAC, DAE sont égaux par construction, et les angles BCA, EDA sont égaux comme étant inscrits dans le même segment; donc ces triangles sont semblables, et on a
