AC X AB X BC = ABC X 4 B

ACx ADxDC = ACDx4R.

Ajoutant et mettant AC en facteur commun, ainsi que 4 R. il vient

(i) AC (AB X BC AD X DC) = ABCD X 4 B.

En considérant les deux triangles ABD, BDC, on trouve pareillement

BD(ABxAD-f-BCxCD) = ABCDx4R,

et, si on compare cette égalité à la précédente, on voit que les seconds membres sont les mêmes ; donc

AC ( AB X BC -t- AD x DC ) = BD ( AB X AD BC X CD ),

d’où l’on déduit cette proportion

AC AB X AD-l-BCx CD BD " AïTx BC -t- AD X DC *

Remarque. — 11 résulte de l'égalité (î) que, dans un quadrilatère inscrit, le produit de l’une des diagonales par la somme des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités de l’autre est égal à la surface du quadrilatère multipliée par le quadruple du rayon du cercle circonscrit. [Note 43. J