CHAPITRE III

§ I". - PROBLÈMES SUR LES POLYGONES SEMBLABLES. Problème I.

258. Deux polygones semblables P, P' étant donnés, construire un troisième polygone P" semblable aux deux premiers et équivalent à leur somme.

Soient a, a', deux côtés homologues des polygones donnés et x le côté inconnu de P" homologue à a et a'; on aura

F — le1'

Ajoutant ces égalités membre à membre, il vient

or, d’après la seconde condition du problème, on doit avoir P"=P + P';

donc on a de, même

Ainsi la question est ramenée à chercher d’abord un carré équivalent à la somme des deux carrés «’ et a'2 (241 ); ensuite sur le côté de ce carré, homologue an, on construira un polygone P" semblable à P (211), et P" sera le polygone demandé.

Problème II.

259. Deux polygones semblables P, P' étant donnés, construire un troisième polygone P" semblable aux deux premiers et équivalent à leur différence.

Soient a, a' deux côtés homologues des polygones donnes etx le côté de P" homologue à a et on aura

Maintenant supposons que P soit plus grand que P' et retranchons la seconde égalité de la première, il viendra

or, d'après la seconde condition du problème, on doit avoir P" = P — P' ; donc on a de même

Ainsi la question est ramenée à chercher d’abord un carré équivalent à la différence des deux carrés a1 et a’’ (242); ensuite sur le côté de ce carré, homologue à a, on construira un polygone P' semblable à P (211), et P' sera le polygone demandé.

Problème III.

260. Un polygone P étant donné, construire un second polygone P' semblable au premier et dont le rapport au premier soit égal à celui de deux droites données m, n.

Soient a un côté du premier polygone et x le côté de P' homologue à a, on aura

mais, d’après la seconde condition du problème, on doit avoir

= — : donc on a de meme

xJ m

On commencera donc par chercher un carré qui soit au carré a7 comme m est à n (243); ensuite, sur le côté de ce carré, homologue à a, on construira un polygone P' semblable à P, et P' sera le polygone demandé.

Observation. — Pour trouver deux droites dont lo rapport soit égal à celui de deux polygones semblables P, P', on cherche deux droites qui soient entre elles comme les carrés a an de deux côtés homologues.

Problème IV.

261. Construire un polygone P’ semblable à un polygone. P et équivalent à un carré n\

Soient a un des côtés du polygone donné P et x le côté homologue a a du polygone P'; on aura

l38 GÉOMÉTRIE PLANE. — LIVRE III.

Maintenant, d’après la seconde condition du problème, P' = n’, et, si on désigne par m’ le carré équivalent à P, il viendra

Extrayant la racine carrée des deux membres, on a

donc x est une quatrième proportionnelle aux trois droites m, n, a.

Connaissant x, on construira sur cette droite un polygone P' semblable à P, et P' sera le polygone demandé.

Corollaire. — Ce problème et celui du n° 234 donnent le moyen de construire un polygone P" semblable à un polygone P et en même temps équivalent à un autre polygone donné P'.