B' O OB' OD BC — OB — OE

mais, à cause du losange OBDC (272), le rayon OD =aOE et par conséquent

B'C' =aBC.

On voit de même que le rayon OB'= 2OB.

Ainsi, en désignant le rayon OB par R, le côté B'C' est égal à 2R et la hauteur A'D du triangle A'B'C' est égale à 3R.

Définition. — Deux lignes brisées non fermées sont semblables (200), lorsqu’elles ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels. Par exemple, on voit (*nfig.) que les deux lignes brisées régulières ABC, A'B'C', l’une inscrite et l’autre circonscrite à l’arc AC, sont semblables. [Note 46.]

$ II. - THÉORÈMES RELATIFS AUX POLYGONES RÉGULIERS. Thêorêmf. I.

276. Tout polygone régulier ABCDEF peut être inscrit dans le cercle et peut lui être circonscrit.

i° Par les trois points A, B, C, faisons passer une circonférence dont le centre est O ( 138 ) ; menons les droites OA, OD, et abaissons OG perpendiculaire à la corde BC. Si on fait tourner le quadrilatère OGBA autour de OG, de manière à l’appliquer sur OGCD, l’angle droit OGB coïncidera avec l’angle droit OGC et, comme GB = GC, le point B tombera sur le point C; d’ailleurs, puisque le polygone est régulier, l’angle

B = c el le côté BA = CD ; donc BA prendra la direction de CD et le point A tombera sur le point D; donc OA = OD, et, par conséquent, la circonférence qui passe par les trois points A, B, C, passera aussi par le point D.

On démontrerait de même que cette circonférence, passant par les trois points B, C, D, doit passer par le point E, et ainsi

de suite. . , ...

2° Les cordes égales AB, BC, CD,. . ., sont egalement éloignées du centre ( 140) ; donc, si du point O comme centre, avec le rayon OG, on décrit une seconde circonférence, elle sera tangente à chacun des côtés, en son milieu. Donc le polygone est circonscrit au cercle OG.

Remarque /. — On appelle centre du polygone le centre commun du cercle circonscrit el du cercle inscrit. On di aussi que le rayon du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit sont l’un le rayon et l'autre l'apothème du polygone.

L’angle au centre d’un polygone régulier est l’angle formé par deux rayons menés aux extrémités d’un même côté.

Tous les angles au centre sont égaux, comme étant les angles au sommet de triangles isocèles équilatéraux entre eux. Donc la valeur de chacun de ces angles s’obtiendra en divisant 4 droits par le nombre des côtés du polygone.

Remarque II. — Une ligne brisée régulière est aussi inscriptible et circonscriplible au cercle. [Note 47- ]

Théorème II.

277. L’aire d’un polygone régulier ABCDEF est égale au produit de son périmètre par la moitié du rayon du cercle inscrit, ou par la moitié de son apothème.

Car, en joignant le centre O aux différents sommets A, B, C;...» on décompose le polygone en triangles qui ont chacun pour base un des côtés du polygone et pour hauteur l’apothème OG; donc on a

ABCDEF = AB x - OG + BC X - OG -+- CD X - OG -+- . . . , 2 2 2

= ( AB -H BC CD -f- . . . ) X ^ OG.

Remarque I. — En désignant la surface par S, le périmètre par P et l’apothème par r, on aura

POLYGONES RÉGULIERS. l4$

Remarque II. — Une figure, telle que OARC, formée par une ligne brisée régulière ABC et par les deux rayons OA, OC, menés aux extrémités de celte ligne, s’appelle secteur polygonal régulier, et elle a pour mesure le produit de la ligne brisée AB+BCqui lui sert de base par la moitié de son apothème OG.

Remarque III. — Connaissant le rayon d’un cercle et le côté d'un polygone régulier inscrit, il est facile de calculer l’apothème. Soient OA = R, AB = a et l’apothème OG— r; le triangle rectangle OGA donne