OG = R- — AG
d’où OG = r = y'R' — ^ ^ y/4 R! — a'.
278. Remarque IF. — Un polygone quelconque, circonscrit à un cercle, peut se décomposer en triangles, ayant chacun pour sommet le centre du cercle, pour base l’un des côtés du polygone et pour hauteur le rayon du cercle. Donc, en désignant par S la surface de ce polygone, par P son périmètre et par H le rayon du cercle, on aura *
S=Px-R.
De même, S' et P' étant la surface et le périmètre d’un second polygone circonscrit au même cercle, on a
SP
Donc g; = p-, y
d’où l’on voit que les surfaces de deux polygones quelconques circonscrits au même cercle sont entre elles comme les contours de ces polygones. [Notes 4® et 4‘j-]
Théorème III.
279. Les périmètres P, p, de deux polygones réguliers ABCDEF, abedef, d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les rayons OA, oa, des cercles circonscrits et aussi comme les rayons OG, og, des cercles inscrits; et leurs surfaces S, s, sont entre elles comme les carrés de ces mêmes rayons.
En effet, puisque les polygones réguliers ont le même
nombre de côtés, ils sont semblables (268); donc
De plus, les angles au centre AOB, aob, étant égaux, les triangles isocèles AOB, aob, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels et par conséquent sont semblables; donc
, , AB OA
^ ab oa ’
d’ailleurs, les angles OtiA, oga, sont droits et les angles AOG, aog, sont égaux, comme moitiés des angles au centre AOB, aob; donc les triangles OAG, oag, sont aussi semblables et on a
OA
oa
OG
Enfin, à cause du rapport commun aux proportions (i), (a) et du rapport commun aux proportions ( 2 ), ( 3 ), il vient
En second lieu on a
et, par suite.
OA
oa
OG
s ab’
5 ri1
ÔA ÔG
oa
ainsi le théorème est démontré.
