S I". - DÉFINITIONS. - PRINCIPE DES LIMITES. - LEMMES
Définitions.
280. On dit qu’une quantité est variable, lorsqu’elle passe successivement par différents états de grandeur.
Ainsi, la quantité 1 + dans laquelle x désigne successivement les nombres entiers i, a, 3 est une quantité variable; car elle prend alors les valeurs n-^’ 1 + 1 “^3’"”
281. On appelle limite d’une quantité variable une quantité fixe dont la première approche indéfiniment, c’est-à-dire de telle sorte que la différence entre ces deux quantités puisse devenir plus petite que toute quantité donnée, sans devenir jamais nulle.
Par exemple, la quantité i 4- - a pour limite Y unité, lorsque
x prend des valeurs entières de plus en plus grandes. (Voir au commencement de ces Éléments : Termes et signes employés en Géométrie.)
De même, l’angle d’un polygone régulier de n côtés est donné par la formule
et, si l’on suppose que n croisse indéfiniment, la valeur de A tend vers la limite a.
Principe des limites.
282. Lorsqu' une égalité contient des quantités variables et quelle a lieu pour toutes les valeurs que prennent ces quantités, en s'approchant simultanément de leurs limites, elle a encore lieu si on remplace chacune des quantités variables par sa limite.
Ce principe important, qu’on regarde comme évident, est extrêmement utile, soit en Géométrie, soit dans les autres branches des Mathématiques. II est connu sous le nom de principe des limites.
Lemmes.
Lemme I.
283. Le périmètre d'un polygone régulier ABCD, inscrit dans un cercle 0, est plus petit que le périmètre du polygone régulier AEBF. . . d'un nombre double de côtés, inscrit dans le même cercle.
Car la ligne brisée convexe ABCD est plus petite que la ligne AEBF. . . , qui l'enveloppe de toutes parts (112).
Remarque /. — La surface du polygone c ABCD est aussi plus petite que celle du po-
lygone AEBF. . car la partie est plus petite que le tout.
Remarque II. — La corde AB étant plus grande que la corde AE est moins éloignée du centre que AE; donc l’apothème du polygone ABCD est moindre que celui du polygone AEBF
Remarque III. — Il est facile de voir aussi que le périmètre, la surface et l’apothème de tout polygone régulier inscrit dans un cercle sont respectivement plus petits que la circonférence, la surface et le rayon du cercle.
Lemme H.
284.. Le périmètre d’un polygone régulier ABCD, circonscrit à un cercle 0, est plus grand que le périmètre A'B'C'D'. . .
d’un polygone régulier d'un nombre double de côtés, circonscrit au même cercle.
Car la ligne ABCD enveloppe de toutes parts la ligne brisée A'B'C'D'
Remarque. — La surface du polygone ABCD est aussi plus grande que celle du polygone A'B'C'D'. ..; car le tout est plus grand que sa partie.
Lemme III.
285. Un arc de cercle AMB est plus petit que toutes les lignes ANB, APB, . . . , qui l'enveloppent et se terminent aux mêmes extrémités.
Car il est évident que, parmi toutes les lignes AMB, ANB, APB,..., il y en a au moins une qui n’en admet pas de plus
courte qu’elle. Or l’une quelconque des lignes enveloppantes, ANB par exemple, ne saurait jouir de cette propriété, puisque, en menant à l’arc de cercle AMB une tangente CMD, la ligne ACMDB est plus petite que ACNDB. Donc, de toutes les lignes AMB,
ANB, APB l’arc de cercle AMB est
la plus courte.
Remarque. — On démontrerait de la même manière que la circonférence AMBM' est moindre que toute ligne qui l’enveloppe de toutes parts.
Ainsi, la circonférence est plus petite que le périmètre de tout polygone circonscrit; et, comme elle est plus grande que le périmètre de tout polygone inscrit, il s’ensuit qu’e//e est toujours comprise entre les périmètres de deux polygones, l’un inscrit et l'autre circonscrit.
Lemme IV.
286. Lorsqu’on double indéfiniment le nombre des côtés d'un polygone régulier inscrit dans un cercle, les apothèmes des polygones réguliers successifs ont pour limite le rayon du cercle.
Désignons par R le rayon du cercle, par a le côté de chacun des polygones réguliers et par r son
/ \ apothème; les trois droites R, r seront
( o j les côtés d’un triangle, et on aura
Mais, en doublant indéfiniment le nombre des côtés d'un polygone régulier inscrit, on arrive évidemment à diviser la circonférence en parties égales plus petites que toute
longueur donnée; donc la corde a et sa moitié ^ tendent vers
la limite zéro, et par conséquent il en est de même de la différence R — r.
Donc R est la limite vers laquelle tend l’apothème r.
Lkmmr V.
287. La circonférence et la surface d'un cercle, sont respectivement les limites vers lesquelles tendent le périmètre et la
l54 GÉOMÉTRIE PLARE. LITRE IV.
surface d'un polygone régulier inscrit ou d’un polygone régulier circonscrit, lorsque le nombre des côtés de ce polygone double indéfiniment.
i° Soient p, P, r, A les périmètres et les apothèmes de deux polygones réguliers semblables, l'un inscrit et l'autre circonscrit au cercle R; on aura (279)
d’où l’on tire P — p = =-(l\ — r).
Maintenant, supposons que le nombre des côtés des deux polygones double indéfiniment et qu’on représente toujours par p et P les périmètres de deux polygones semblables, par r l'apothème de chacun des polygones inscrits; on aura constamment l’égalité
dans laquelle P — p et ^ (R — r) sont deux quantités variables.
Or, à mesure que le nombre des côtés des deux polygones
augmente, le facteur ^ devient de plus en plus petit et le facteur R — r tend vers la limite zéro; donc le second membre
( R — r) et, par conséquent, le premier P — p tendent aussi K
vers la hmite zéro. D’ailleurs, la circonférence est toujours comprise entre P et p; donc les deux périmètres P et p peuvent différer chacun de la circonférence d’une quantité plus petite que toute quantité donnée; donc ils ont pour limite commune la circonférence.
Soient s, S, r, R les surfaces et les apothèmes de deux polygones réguliers semblables, l’un inscrit et l’autre circonscrit au cercle R; on aura (279)
ÏP ~ 7’ “ R1— r-’
d’où l’on lire
Maintenant, supposons que le nombre des côtés des deux polygones double infiniment et qu’on représente toujours par s et S les surfaces de deux polygones semblables, par r l’apothème de chacun des polygones inscrits; on aura constam-
ment l’égalité
dans laquelle S — s et j-, (R + r) (R - r) sont des quantités variables.
Or, à mesure que le nombre des côtés des deux polygones augmente, le facteur devient de plus en plus petit, le facteur R-+- r tend vers la limite aR, et enfin le facteur R — r tend vers la limite zéro; donc le second membre
et, par conséquent, le premier S — s tendent aussi vers la limite zéro. D’ailleurs, le cercle est toujours compris entre S et *; donc les deux surfaces S et « peuvent différer chacune de celle du cercle d’une quantité plus petite que toute quantité donnée; donc elles ont le cercle pour limite commune
s II. — LE RAPPORT DE TOUTE CIRCONFÉRENCE A SON DIAMÈTRE EST UN NOMBRE CONSTANT. - AIRE DU CERCLE.
Définitions.
288. On appelle arcs semblables, secteurs semblables, segments semblables, ceux qui correspondent à des angles au centre égaux.
Théorème I.
289. Les circonférences sont entre elles comme leurs rayons et les cercles sont entre eux comme les carrés de leurs rayons.
i° Soient O, o deux circonférences et R, r leurs rayons; si on inscrit dans ces circonférences deux polygones réguliers semblables et qu’on désigne leurs périmètres par P, p, on a
Maintenant, supposons que le nombre des côtés de chacun de ces polygones double indéfiniment et qu’on représente toujours par P et p les péri- '"-'v ^ mètres de deux polygones
^ /f\ \\ semblables; on aura con-
stamment
Alors on peut regarder celle égalité comme contenant les
l56 GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE IV.
quantités variables P, p, et, puisqu’elle a lieu pour toutes les valeurs que prennent ces quantités, elle aura enrore lieu si on remplace P et p par leurs limites (282); on aura donc
limite de P R
limite do p r ’
, , cire. R R
ou i) =-•
cire, r r
a° En représentant par S et a les surfaces des polvgones semblables qu'on obtient en doublant successivement le nombre des côtés des deux premiers polygones, on aura de même
puis
lim.S R’
lim. s r’
cercle R R’
cercle r r*
290. Remarque importante. — Si on multiplie par 2 les termes du second rapport de la proportion ( 1 ) et qu’on change les moyens de place, il vient
cire. R cire, r
donc le rapport d’une circonférence à son diamètre est le même pour toutes les circonférences, ou, en d’autres termes, ce rapport est constant.
Par des moyens qu'on ne saurait exposer dgns un ouvrage élémentaire, on démontre que ce rapport est incommensurable et on le représente ordinairement par rc. Donc, en désignant par R le rayon d’un cercle, son diamètre sera a R et sa circonférence sera exprimée par üRxr ou air R; ainsi on a
cire. R = a ir R .
Et de là il résulte que la longueur de l’arc d'un degré est égale
. 2 7i R . rR , , , , 1 -
a ou a et que la longueur / d un arc de n degres est
donnée par la formule
rRn
Pour valeur approchée de tt, Archimède a trouvé — et
Adrien Mélius a donné le nombre — r - Ces deux valeurs sent
trop grandes; mais la première surpasse n de moins d’un demicentième, et la seconde, de moins d’un demi-millionième.
La valeur de n en décimales est
Le nombre — » qui se présente assez souvent dans les cal-
culs, a pour valeur
291. Corollaire. — Les arcs semblables AB, ab, sont entre eux comme les rayons OA, O a ; et les secteurs semblables OAB, O ab, ainsi que les segments semblables AMB, amb, sont entre eux comme les carrés de ces rayons.
i° Dans le même cercle, les arcs sont proportionnels aux angles au centre qui leur correspondent; donc on a
Donc
arc AB cire. OA arc ab cire. Oa arc AB cire. OÀ
^droits '
4dr’
arc ab cire. On’
et, en changeant les moyens de place, il vient
arc AB cire. OA OA
Oa”
arc ab
i° De même, on a
cire. Oa
sect. OAB O . .
cërêïëOA~4rrl
donc
sect. O ab cercleOa
sect. OAB sect. O ab
cercle OA
OA
Ôa
cercleOa
3° Les triangles semblables OAB, O ab, donnent
OAB O ab
OA
Oa’
donc
sect. OAB sect. Oa6
OAB
Ôab
sect. OAB — OAB sect. Oab — Oab
segm. AMB segm. amb
OA
Oa’
Tiiéoréme H.
292. L’aire d’un cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié de son rayon.
Soit un cercle 0 dont le rayon est R; si on inscrit dans ce cercle un polygone régulier quelconque, et qu’on désigne respectivement par S, P, r, la surface, le périmètre et l’apothème de ce polygone, on a
Maintenant, supposons que le nombre des côtés de ce polygone double indéfiniment et qu’on représente toujours par S, P, r, la surface, le périmètre et l’apothème de chacun des polygones qu’on obtient ainsi, on aura constamment
S = Px-r.
Alors on peut regarder cette égalité comme contenant les quantités variables S, P, r, et, en vertu du principe des limites, on a
lim. S= lim. P X - lim. r ou cercle R = cire. R X - R .
Corollaire I. — L’aire du cercle dont le rayon est R aura R
pour expression 2?tR X — ou rcR’. Ainsi on a
cercle R = rcR1.
Donc, l'aire d'un cercle est égale au produit du carré de son rayon par le rapport de la circonférence au diamètre.
293. Corollaire II. — Un secteur OAMB a pour mesure le produit de la longueur de son arc AMB par la moitié du rayon OA ou R.'
Car, dans le même cercle, les secteurs sont entre eux comme leurs arcs; donc
sect. OAMB cercle R
arc AB cire. R’
et, si on multiplie les deux termes du second rapport par — *
il vient
sect. OAMB cercle R
arc AB X —
cire. R X —
MESURE 1)E LA CIRCONFÉRENCE ET DU CERCLE. l5q
Or, les dénominateurs cercle R et cire. R X — sont égaux; donc on aura
sect. OAMB = arc AB X — •
Remarque. — Le plus souvent un secteur est déterminé par le nombre de degrés contenus dans son arc; alors on obtient sa surface en multipliant celle du cercle par le rapport du nombre de degrés donné à 36o degrés. Par exemple, si le rayon d’un cercle est R et que l’arc du secteur contienne
29 degrés, le secteur est les du cercle, donc
secteur de 290 = ttR’ X • *
Si l’arc du secteur est de 48° 25' 43", on le convertit en secondes, ce qui donne 174343", et comme 36o°= 1296000", on aura
secteur de 4°° *5' 43" = tt R1 X - •
Plus généralement, en désignant par S la surface d’un secteur et par n ie nombre de degrés contenus dans son arc, on aura la formule
rR’n
au moyen de laquelle on peut calculer l’une des trois quantités S, R, n, lorsque les deux autres sont données. [Notes 5o, 5i et 5a.]
S III. - CALCUL D’UNE VALEUR APPROCHÉE DE w.
294. On peut arriver à une valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre de plusieurs manières.
Ainsi, on a
cire. R
n “IF’
donc, pour avoir r, il suffit de calculer le rayon d’un cercle dont la circonférence est donnée, ou de calculer la circonférence d’un cercle dont le rayon est donné.
De même, au moyen de la formule
cercle R
on obtiendrait une valeur de tt, soit en calculant le rayon d’un cercle dont on connaît la surface, soit en calculant la surface d'un cercle dont on connaît le rayon.
De ces quatre méthodes, nous exposerons la première qui est connue sous le nom de méthode des isopérimètres. Elle est fondée sur la connaissance de deux formules auxquelles conduit le problème suivant.
Problème I.
29o. Connaissant l'apothème r et le rayon R d’un polygone régulier, calculer l’apothème r1 et le rayon R' du polygone régulier isopérimètre d’un nombre double de côtés. (Deux polygones sont dits isopérimèlres, lorsque leurs périmètres ont des longueurs égales.)
Soient AB le côté, 0 le centre et OC l’apothème du polygone donné; prolongeons OC jusqu'à la rencontre en D du
cercle circonscrit à ce polygone, joignons les milieux E et F des cordes DA, DB par une droite qui coupe OD au point G et menons les droites OE, OF, OA, OB. L'angle EOF sera la moitié de l'angle au 0 centre AOB et la droite EF sera la
moitié de AB; donc EOF est l’angle au centre du second polygone et les droites EF, OG, OE en sont respectivement le côté, l’apothème et le rayon.
Cela posé, on a d’abord
