AB + BE AD -4- DE ; BC < BE -4- EC

Ajoutant, membre à membre, ces deux inégalités qui ont lieu dans le même sens, on aura encore une inégalité dans le même sens; ainsi on a

AB 4- BE -+- BC < AD -l- DE BE -4- EC.

, Mais on peut retrancher aux deux membres d’une inégalité la même quantité sans que l’inégalité cesse d’exister dans le même sens; donc, si on retranche aux deux membres le terme commun BE, il viendra

AB h- BC < AD -4- DE -4- EC ou bien AB -t- BC < AD -4- DC,

ce qu’il fallait démontrer. [Note a.]

Remarque. — Ce théorème n’est qu’un cas particulier de cette proposition :

L ne ligne brisée convexe ABCD est plus petite que toute autre ligne brisée AEFD qui l'enveloppe, et qui est terminée aux mêmes extrémités.

Pour la démontrer on prolonge les côtés AB, BC, jusqu’à la rencontre de la ligne enveloppante, aux points G, H, et on a