GH
d’ailleurs, GH = R' — r'
et
donc on a aussi
Problème il.
296. Trouver une valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre.
Considérons le carré ABCD dont le côté AB est égal à 1 L’apothème r et le rayon R de ce carré sont
o,5oooooo ,
et on a
Donc l’apothème r, et le rayon R, de l’octogone régulier isopérimètre seront (295)
Éléments. 1 I
et on aura ou
Ri — r, <
On calculerait de même l’apothème r, elle rayon R, du polygone régulier isopérimèlre de 16 côtés, et on aurait
et à fortiori
Si on continue et qu’on répète ce calcul n fois, par exemple, on arrivera à un polygone dont le périmètre sera toujours égal à 4, et, en désignant son apothème et son rayon par r. et R., on aura
Donc, en prenant n suffisamment grand, la différence R. — r. peut devenir aussi petite qu’on voudra ( 297 ).
Or, les circonférences décrites avec les rayons R. et r. étant l’une plus grande et l’autre plus petite que 4» le rayon de la circonférence égale à 4 sera compris entre R, et r„, ét par conséquent on peut obtenir ce rayon avec telle approximation qu’on voudra.
En calculant les apothèmes et les rayons des polygones de 8, 16, 32, ... , 8192 côtés, on arrive aux valeurs suivantes :
Nombre de eûtes.
Apothèmes.
Hayons.
r .= 0, 5oooooo. . . .
Rs =0,6376435...
r, = o,636io83 ....
Ainsi, la différence entre l’apothème et le rayon du polygone
MESURE DE LA CIRCOS FÊREXCE ET DC CERCLE. l63
de 819a côtés est moindre qu'un dix-millionième; donc la circonférence, égale à 4, a pour rayon 0,6366196 à moins de 0,0000001 près, et si on divise la demi-circonférence qui est égale à 2 par ce rayon, on aura une valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre. On trouve pour quotient le nombre
qui surpasse it de moins d’un millionième.
297. Remarque. — Nous avons dit qu’en prenant le nombre n suffisamment grand, la différence R„ — r„, qui est moindre que
peut devenir plus petite que tout nombre donné, et
pour le faire voir nous allons chercher une valeur de n qui satisfasse, par exemple, à l’inégalité
yfc — ■ ^ 1 2x4" io’ 5
ce qui revient à satisfaire à celle-ci
W* — »)x «oy
Or, en effectuant les calculs, il est facile de reconnaître que la onzième puissance de 4 est plus grande que le second membre de cette dernière égalité ; car on a
et
= 1 ,4i42,356. . . , sJ 2 — 1 = o, 4 <421 356. . . ,
(v^â — 1) x io’ = 4>42,35,6. . . ,
f \[Ï — 1) X io’ ,. „
Donc on pouvait prévoir qu’après avoir calculé onze apothèmes et onze rayons, la différence RM — r,, serait moindre qu’un dix-millionième. [Note 53.]
Observation. — Archimède est le premier qui ail donné une valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre , en démontrant cette proposition :
« La circonférence d’un cercle quelconque est égale au triple du dia- » mètre, réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que
» le septième de ce diamètre et plus grande que les iy de ce même dia-
* mètre. » ( Œuvres d’Archimède, traduites par F. Pevrard.)
Avant Archimède, on ne savait mesurer ni les courbes ni les surfaces limitées par ces lignes; aujourd'hui, la rectification ou la mesure des lignes courbes et la quadrature ou la mesure des aires curvilignes sont des opérations pour lesquelles il y a des règles fixes, fondées sur le calcul infinitésimal.
Nous terminerons cette observation et les éléments de Géométrie plane par cette courte notice :
Archimède, célébré géomètre, est né à Syracuse vers l’an 287 avant l’èrc vulgaire. Jeune encore, il se rendit en Égypte et commença dés lors à se signaler par ses découvertes.
De retour à Syracuse, il consacra son génie à la défense de sa patrie assiégée par Marcellus et prolongea sa résistance pendant trois ans.
Enfin les Romains pénétrèrent par surprise dans la ville. Archimède, tout occupé de la solution d'un problème, larda trop à suivre un soldat qui venait pour le prendre; celui-ci, sans vouloir attendre, le tua aussitét (aia ans avant 1ère vulgaire}.
