CHAPITRE I

CONSÉQUENCES LES PLUS IMMÉDIATES DE LA DÉFINITION DU PLAN. - PERPENDICULAIRES ET PARALLÈLES CONSIDÉRÉES DANS L’ESPACE.

S I". - CONSÉQUENCES LES PLUS IMMÉDIATES DE LA DEFINITION DU PLAN (12).

Théorème I.

298. Par une droite donnée AB on peut faire passer une infinité de plans.

Car on peut tracer une droite dans un plan quelconque et changer la position de ce plan de telle sorte que cette droite vienne coïncider avec AB. Alors, si on fait tourner ce plan autour de la droite AB comme axe, il est évident qu’on aura une infinité de plans MN(*), M'N',..., passant

Théorème H.

299. Par trois points donnés A, B, C, non en ligne droite, on peut faire passer un plan, et on n'en peut faire passer

qu’un.

Car on peut mener une droite par les deux points A, B, faire passer un plan par cette droite, puis faire tourner ce plan autour de AB jusqu’à ce qu’il rencontre le point C; alors on aura un plan MN qui contiendra les trois points donnés.

(*) Pour représenter les plans dans les figures, on est obligé de leur donner des limites, et très- souvent nous les représenterons par des quadrilatères que nous désignerons par deux lettres en disant : le plan MN, le plan PQ, etc.; mais il faut toujours concevoir les plans comme étant indéfinis.

par la droite AB.

l66 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. — LIVRE V.

De plus, je dis que par les trois points A, B, C, on ne peut pas faire passer un second plan PQ différent du premier.

Car le plan PQ, passant par ces trois points, contiendra d’abord les deux droites AB, AC, en vertu de la définition du plan. Ensuite prenons un point quelconque D sur le plan MN, et par ce point menons une droite DE qui coupe AB au point E et AC au point F; les deux points E, F seront situés dans le plan PQ, et par suite la droite DE sera contenue tout entière dans ce même plan ; donc le point D est un point du plan PQ.

Ainsi, tout point du plan MN est un point du plan PQ, et on verrait de même que tout point du plan PQ est un point du plan MN ; donc MN et PQ ne sont qu’un seul et même plan.

Corollaire I. — Par deux droites qui se coupent, AB, AC, on peut aussi faire passer un plan, et on n’en peut faire passer qu’un.

Car le plan, qui passe par les trois points A, B, C, contient deux points de la droite AB et deux points de la droite CD; donc il contient ces deux droites tout entières.

De plus, par ces droites on ne peut faire passer qu’un plan, sans quoi par les trois points A, B, C, non en ligne droite, on pourrait faire passer deux plans, ce qui est impossible.

Corollaire II. — On verrait de même qu’une droite AB et un point C situé hors de cette droite déterminent un plan.

Corollaire III. — Deux parallèles AB, CD déterminent la position d'un plan.

Car, d’après la définition des parallèles (78), les deux

g n droites AB, CD sont d’abord situées dans

un même plan ; d’ailleurs ce plan est le seul qui puisse contenir les deux droites,

a, » sans quoi par les trois points A, B, C, non

en ligne droite, on pourrait faire passer deux plans.

300. Remarque. — Ainsi, lorsque deux droites AB, CD sont parallèles et qu'on mène un plan par l’une de ces droites AB et un point C de l’autre, ce plan contient la seconde droite CD tout entière.

Théorème III.