III. — DROITES PARALLÈLES ENTRE ELLES DANS L’ESPACE
Théorème I.
30i. Par un point C pris hors d’une droite AB, dans l’espace, on peut mener une parallèle à cette droite, et on n’en peut mener qu'une.
Car on peut faire passer un plan par la droite AB et le point C, puis dans ce plan mener par le point C une paralr lèle CD à la droite AB (82).
c De plus, une autre droite CE ne saurait
être parallèle à AB. Car le plan mené par la
droite AB et le point C devrait alors eonte-
T b nir les deux droites CD, CE (300); donc
dans un plan on pourrait, par un point situé hors d’une droite, mener deux parallèles à cette droite, ce qui est impossible (82).
lG8 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. — LIVRE V.
305. Remarque. — Tout plan MN, qui coupe une droite AB, coupe aussi sa parallèle CD.
Car le plan ABCD des deux parallèles coupe le plan MN suivant une droite BE. D'ailleurs on sait que toute droite qui est menée dans le plan de deux parallèles et qui rencontre l’une de ces droites AB doit aussi rencontrer l'autre (32); donc BE coupera CD en un point D, et par suite le plan MN coupera CD au même point.
Théorème 11.
JJ
306. Deux droites CD, EF, parallèles à une troisième AB, dans l’espace, sont parallèles entre elles.
D’abord, ces deux droites sont situées
- — 5- dans un même plan. Car, s’il en était au-
/ . .. trement, le plan CDGH, mené par la
/ 1 Lt 1 droite CD et par un point G de la droite
EF, devrait couper celle dernière droite, et par suite il couperait aussi sa parallèle AB en un point H, par exemple; donc, par la droite CD et le point H, on pourrait faire passer deux plans, l’un CDBA, et l’autre CDGH, ce qui est impossible.
De plus, les deux droites CD, EF ne peuvent pas se rencontrer, sans quoi, par leur point d’intersection, on pourrait mener deux parallèles à AB.
Ainsi, les deux droites CD, EF sont situées dans un même plan et elles ne peuvent pas se rencontrer; donc elles sont parallèles.
307. Corollaire /. — Si par deux droites parallèles AB, CD on fait passer deux plans qui se coupent, l’intersection EF
des deux plans est parallèle à ces droites. Car, en menant par le point E une droite r parallèle à AB, celle droite sera aussi parallèle à CD ; donc elle devra être contenue à la fois dans les deux plans AF, CF (300), et par conséquent elle se confondra avec leur intersection. Donc EF est parallèle aux droites AB, CD.
308. Corollaire II. — Si deux droites AB, CD sont paralig lèles, deux autres droites EF, GH, respectivement parallèles aux premières, sont parallèles entre elles.
Car les droites EF, CD, étant chacune parallèles à AB, sont parallèles entre elles; ensuite les droites EF, GH, étant chacune parallèles à CD, sont aussi parallèles.
