DROITE PERPENDICULAIRE AO PLAN

Ainsi, les deux points B et E sont également distants des extrémités de la droite AF ; donc BE est perpendiculaire sur AF ou sur AB.

314. Remarque. — Si une droite AB est perpendiculaire à un plan MN, elle est oblique à toute droite BC qui passe par son pied B et qui n’est pas située dans le plan.

o Car le plan AP, mené par les deux droites AB, BC, coupe le plan MN suivant une droite BD qui est perpendiculaire à AB; T donc BC est oblique à AB.

Corollaire. — Donc, lorsqu'un plan MN est perpendiculaire à une droite AB en l'un de ses points B, il contient toutes les perpendiculaires élevées de ce point sur la droite.

Donc, en d’autres termes, si d’un point d’une droite on élève sur cette droite autant de perpendiculaires qu’on voudra, toutes ces perpendiculaires seront contenues dans un même plan, perpendiculaire à la droite.

Théorème II.

315. Par un point C on peut mener un plan perpendiculaire à une droite AB, et on n'en peut mener qu'un.

i° Supposons le point C situé sur la droite. J'élève sur AB les deux perpendiculaires CD, CE, et, si par ces deux droites je fais passer un plan MN, ce plan sera perpendiculaire à AB.

Maintenant, tout plan perpendiculaire à AB au point C doit contenir les perpendiculaires CD, CE, élevées du point C sur AB (314); donc il n’est autre que le plan MN. Donc par le point C on ne peut mener qu’un plan perpendiculaire à AB.

2° Soit le point C situé hors de la droite. J’abaisse sur AB la perpendiculaire CD, et du point D j’éléve sur AB une autre perpendiculaire DE ; alors le plan MN , mené par les deux droites CD, CE, sera perpendiculaire à AB.

D'ailleurs un plan, passant par le point C et perpendiculaire à AB, ne saurait rencontrer AB en un point F différent du point D, sans quoi la droite CF serait perpendiculaire à AB, et on pourrait du point C abaisser sur AB deux perpendiculaires CD, CF, ce qui est impossible; donc, en vertu du premier cas, ce plan se confondra avec le

plan MN. Donc par le point C, extérieur à la droite AB, on ne peut mener qu’un plan perpendiculaire à cette droite.

Théorème III.

316. Un plan MN perpendiculaire à une droite AB est aussi perpendiculaire à sa parallèle CD.

Pour le démontrer il suffit de faire voir que la droite CD est perpendiculaire à une droite quelconque DE, qui passe par son pied dans le plan. Or, si on mène BF parallèle à DE et dirigée dans le même sens, les angles ABF, CDE seront égaux (309); d’ailleurs l’angle ABF est droit; donc l’angle CDE l’est pareillement.

317. Par un point A on peut mener une perpendiculaire à un plan MN et on peut n'en mener qu'une.

i° Du point A, pris sur le plan MN, on peut élever une perpendiculaire à ce plan. Car par le point A' d’une droite

A'B' on peut mener un plan M'N' perpendiculaire à cette droite et, si on porte la seconde figure sur la première, de manière que le point A' coïncide avec le point A et le plan M'N' avec le plan MN, la droite A'B' prendra une position telle que AB, et AB sera perpendiculaire au plan MN.

De plus, toute autre droite AC sera oblique au plan. Car la droite AB est perpendiculaire à l’intersection AD du plan BAC avec le plan MN, donc AC est oblique à AD, et par suite oblique au plan MN.

a0 Soit le point A situé hors du plan. D’un point quelconque B, pris sur le plan MN, j’élève BC âl tc perpendiculaire à ce plan, et par le point A l\ je mène AD parallèle à CB; alors la droite

AD sera perpendiculaire à MN (31G).

Maintenant toute autre droite AE est oblique au plan MN. Car AI) étant perpendiculaire à l’intersection DE du plan ADE avec le plan MN, il s’ensuit que AE est oblique à DE et par suite au plan MN.

Théorème V.

318. Deux droites AB, CD, perpendiculaires à un même plan MN, sont parallèles.