DA = DB

Ensuite on a

AE < ED -4- DA, ou AE < ED 4- DB,

ou, enfin AE<EB.

Corollaire. — Le plan perpendiculaire sur le milieu d’une droite est le lieu géométrique de tous les points de l'espace également distants des extrémités de celte droite.

320. Définition. — Dans la Géométrie de l’espace, on appelle lieu géométrique une surface ou une ligne dont tous les points jouissent d’une même propriété, à l’exclusion de tous les autres points de l’espace.

Théorème VII.

321. Si d’un point A, situé hors d’un plan MN, on abaisse sur ce plan une perpendiculaire AB et différentes obliques AC, AD, AE,

i° La perpendiculaire AB est plus courte que toute oblique AC;

a” Deux obliques AC, AD, qui s’écartent également du pied de la perpendiculaire, sont égales;

i74 géométrie dans l’espace. — LIVRE V.

3° De deux obliques AC, AE, qui s’écartent inégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s’en écarte le plus est la plus grande.

i" Dans le plan ABC, les deux droites AB, AC, sont l’une perpendiculaire et l’autre oblique sur la droite BC, donc on a AB < AC.

a0 Dans les deux triangles ABC, ABD, le côté AB est commun, le côté BC = BD par hypothèse, et les deux angles ABC, ABD sont droits; donc AC = AD.

3° Soit BE>BC et prenons BF = BC; l'oblique AF sera égale à l’oblique AC; mais, dans le plan ABE, on a AE > AF, et par suite on a aussi AE > AC.

Corollaire I. — Les réciproques sont vraies.

322. Corollaire II. — Étant donné un point A, situé hors d’un plan MN, s’il s’agit de trouver le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan, on déterminera trois points B, C, D du plan également distants du point A, et on cherchera le centre O du cercle qui passe par ces trois points; ce centre sera le point cherché.

Car les trois obliques AB, AC, AD, étant égales, leurs pieds sont également distants du pied de la perpendiculaire; or le point O est le seul point du plan, également distant des trois points B, C, D (138); donc il est le pied de la perpendiculaire AO.

323. Définition — On appelle axe d’une circonférence la droite qui est perpendiculaire au plan de cette circonférence et qui passe par son centre.

Conséquence. — Tout point de cet axe est également distant des différents points de la circonférence, et tout point également distant de trois points de la circonférence appartient à cet axe.

Autre définition. — La distance d’un point à un plan est la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.