THÉORÈME II

335. L’angle aigu ABa, formé par une droite AB et sa projection Ba sur le plan MN, est le plus petit angle que cette droite puisse faire avec une droite menée par son pied dans

le plan.

Soit une droite quelconque BC, menée du point B dans le plaj» \1N ; je dis que l'angle ABa est plus petit que l’angle ABC.

Prenons BC = Ba et menons la droite AC. Dans les triangles ABa, ABC, le côté AB est

commun, lia = BC par construction, et le

troisième côté A a, qui est perpendiculaire à MN, est plus petit que AC; donc l’angle ABa est plus petit que l’angle ABC (94).

Corollaire. — Puisque l'angle aigu ABa est le plus petit angle ou l’angle minimum, parmi tous ceux que l’oblique AB peut former avec les droites menées par son pied dans le plan MN, l’angle obtus supplémentaire ABa' sera l’angle maximum.

336. Définition. — On appelle angle d’une droite et d'un plan l’angle aigu que cette droite fait avec sa projection sur ce plan.

Théorème III.

337. Si, par le pied d’une oblique AB à un plan MN, on mène dans ce plan une droite CD perpendiculaire, à la projection Ba de l’oblique sur le plan, cette droite sera aussi perpendiculaire ù l'oblique.

Prenons BC= BD et menons les droites aC, uD, AC, AD.

La droite aB sera perpendiculaire sur le milieu de CD et on aura

aC = aD;

donc les obliques AC, AD s’écartent également du pied de la perpendiculaire Aa abaissée du point A sur le plan MN, et, par conséquent,

AC = AD

Ainsi les points A, B sont également distants des extrémités de la droite CD; donc AB est perpendiculaire à CD.

338. Remarque I. — Réciproquement, si une oblique ABa un plan MN est perpendiculaire à une droite CD menée par son pied dans le plan, cette dernière droite est perpendiculaire à la projection de l'oblique sur le plan. Car, en faisant la même construction, on conclut d’abord que AC= AD; d'où il résulte que aC=aD (321 Jet que aBest perpendiculaire à CD.

339. Remarque II. — La droite A a est perpendiculaire au plan MN et les droites «B, AB, sont chacune perpendiculaires à la droite CD; c’est pourquoi ce théorème est souvent désigné sous le norn de théorème des trois perpendiculaires.

On voit aussi que la droite CI), perpendiculaire à la fois aux droites Bu, BA, est perpendiculaire au plan ABa et que les droites Au, CD, non situées dans un même plan, sont perpendiculaires entre elles ( 310). [Note 55.]

§ IV. — PLIS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES NON SITUÉES DANS 1.E MÊME PLAN.

340. Étant données deux droites AB, CD, non situées dans le même plan,

i° On peut leur mener une perpendiculaire commune ;

2° On n’en peut mener qu'une;

3° La portion de cette perpendiculaire, comprise entre les deux droites, est la plus courte distance de ces droites.

i° Par un point C de la droite CD je mène CE parallèle à AB, et par les droites CD, CE, je fais passer un plan MN, qui , R sera parallèle à AB (325 ).

D’un point quelconque B, pris sur AB, j’abaisse BF perpendicu- : — 7 laire au plan MN; par le pied F de * / cette perpendiculaire, je mène FG j k t/K parallèle à BA ou à EC; du point G

où FG coupe CD je tire la droite GH parallèle à FB, qui sera située dans le plan ABFG (300) et qui rencontrera AB au point H : et je dis que GH est perpendiculaire aux droites AB, CD.

Car GI1, étant parallèle à FB, est perpendiculaire au plan MN (316); donc elle est perpendiculaire aux droites GF, GD, et par suite aux droites AB, CD.

2" Toute autre droite IK, menée d’un point de AB à un point de CD, n’est pas une perpendiculaire commune. Car, si 1K était perpendiculaire aux droites AB, CD, elle serait perpendiculaire à CD et à la droite KL parallèle à AB; donc elle serait perpendiculaire Su 'plan MN ; mais la droite IP parallèle à HG est perpendiculaire au même plan; donc du point 1 on pourrait abaisser deux perpendiculaires sur un plan MN, ce qui est impossible.

3° La droite HG est plus petite que 1K; car HG est égale à la perpendiculaire IP abaissée du point 1 sur le plan MN et on a

1P<(1K. [Note 5G.]