ANGLES DIÈDRES. — LEUR MESURE

Définitions.

3 VI . On appelle angle dièdre la figure, telle que ABCD, formée par deux plans BCA, BCD, qui se rencontrent et sont terminés à leur intersection commune BC.

Cette intersection est Y arête, de l'angle dièdre; les deux plans BCA, BCD, en sont les faces.

Lorsque deux plans MN, PQ se coupent, ils forment quatre angles dièdres QABN, QABM, PBAM, PBAN, qui r ont pour arête commune l'intersection AB.

On voit que, pour désigner un angle dièdre, on se sert de quatre lettres, dont deux appartiennent à l’arête et se placent entre les deux autres. Mais les deux lettres placées sur l'arête suffisent pour désigner un angle dièdre, lorsqu'il « est isolé.

342. Deux angles dièdres sont adjacents, lorsqu’ils ont la même arête, une face commune, et qu’ils sont situés de part et d’autre de celte face.

343. Lorsqu’on a deux angles dièdres ABCD, EFGII, on peut concevoir qu’on porte le second sur le premier, de manière

que l’arête FG prenne la direction de l’arête BC et que la face EF coïncide avec la face AB; alors, si la face FU coïncide aussi avec la face Bl), les deux angles dièdres sont égaux.

Mais il peut arriver que la face FH se place entre les deux faces de l'angle dièdre ABCD, sur BK, par exemple; dans ce cas on peut encore porter l’angle dièdre EFGH dans l’angle

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dièdre KBCD, et ainsi de suite, s’il y a lieu, et l’angle dièdre

ABCD peut contenir l’angle dièdre EFGH un certain nombre de fois.

Ainsi, les angles dièdres sont des grandeurs particulières, susceptibles d’être comparées entre elles comme les autres grandeurs de même espèce.

Lorsqu'on a deux angles dièdres adjacents ABCl), DBCE, n, l’angle dièdre ABCE est la somme des angles diè-

dres ABCl), DBCE, et l'angle dièdre ABCl) est la différence des angles dièdres ABCE, DBCE.

344. Le plan qui divise un angle dièdre en c\. j E deux parties égales est le plan bissecteur de cet \ u angle dièdre.

345. Deux angles dièdres sont dits opposés à l'arête, lorsque les faces de l’un sont les prolongements des faces de l’autre.

Observation. — Pour abréger, au lieu de dire : l’angle dièdre ABCl), on dit quelquefois : le dièdre ABCD.

Mesure des angles dièdres.

Théorème I.

346. Si, d’un point E de f arête d’un angle dièdre ABCD, on élève dans les deux faces des perpendiculaires EF, EG, <1 cette arête, l'angle FEG formé par ces perpendiculaires sera toujours le même, quel que soit le point de l'arête par

lequel on mène les deux perpendiculaires.

Car, si d’un autre point E' de l’arête on élève dans les deux faces des perpendiculaires E'F', E'G', à cette arête, les deux angles FEG , F'E'G', auront leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens; donc ils sont égaux (309).

347. Remarque. — L’angle FEG est l’angle plan correspondant à l’angle dièdre ABCD, ou plus simplement l’angle plan de cet angle dièdre.

Théorème IL

348. Si deux angles dièdres ABCD, EFGH sont égaux, les angles plans ACD, EGH, qui leur correspondent, sont égaux, et réciproquement.

AM. LES DIÈDRES. LEUR MESURE. l8l

En effet, si on porte l'angle dièdre EFGH sur son égal ABCD, de manière que le point G tombe sur le point C, que l’arête

i F GF prenne la direction de CB et que

j la face EFG s’applique sur la face ABC,

la face FGH coïncidera avec la face BCI), puisque les deux angles dièdres

f LJ : sont égaux par hypothèse, et, comme

c ^ : h jes ang|es FGE, FGH sont droits, ainsi E que les angles BCA, BCI), la droite GE tombera sur CA et GH sur CD; donc les angles ACI), EGH, sont égaux.

Réciproquement, supposons que les angles ACD, EGH, qui correspondent aux deux angles dièdres, soient égaux. Si on porte EFGH sur ABCD, de manière que l’angle EGH tombe sur son égal ACD, l’arête GF perpendiculaire au plan de l’angle EGH (313) prendra la direction de l’arête CB perpendiculaire au pian de l’angle ACD; donc les deux angles dièdres coïncideront (299).

/** \ 349. Corollaire. — Lorsque deux plans

H c// MN, PO, se coupent , les angles dièdres

\ r — — \ PFGN , QGFM , opposés à F arête, sont v — a1 égaux.

J / D’un point quelconque A de l’arête GF

,Q menons dans les deux plans les perpen-

diculaires BC, DE à cette arête; les deux angles plans DAC, BAE seront égaux; donc les angles dièdres, auxquels correspondent ces angles plans, seront aussi égaux.

Théorème III.

330. Peux angles dièdres ABCD, EFGH, sont entre eux comme les angles plans ACD, EGH qui leur correspondent .

i° Supposons que les angles plans ACD, EGH, aient une commune mesure et que cette commune mesure soit conte-

nue 3 fois dans EGH et 4 fois dans ACD ; on aura

ACD 4 EGH ~ 3 ‘

Maintenant, si on mène des plans par l’arête BC et par chacune des droites de division de

l’angle ACD, puis des plans par l’arête FG et par chacune des droites de division de l’angle EGH, I angle dièdre EFGH sera divisé en 3 angles dièdres égaux entre eux, comme ayant des angles plans correspondants EGK,

l8d GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. UVRE V.

KGL, elc., égaux, et l'angle dièdre ABCD contiendra l’un de ces angles dièdres 4 fois; donc on a