EF < EB

Corollaire. — Le plan bissecteur d'un angle dièdre PQMN est le lieu géométrique des points situés dans l'intérieur de cet angle et également distants de ses faces MN, PQ.

Théorème II.

398. Si deux plans se coupent et qu'une droite AB soit perpendiculaire à l'un de ces plans PQ, ta projection de celte droite sur l’autre plan MN sera perpendiculaire à F intersection des deux plans.

Du point A abaissons sur le plan MN la perpendiculaire A a

et par les deux droites A a, AB, faisons passer un plan qui coupera MQ au point C. Le plan ABCa sera perpendiculaire à la fois aux deux plans MN, PQ, et par suite il sera perpendiculaire à leur intersection MQ:

donc la droite «C est perpendiculaire à MQ. Or, aC est la projection de AB sur le plan MN ; car toute perpendiculaire abaissée d’un point de AB sur MN sera contenue dans le plan ABCa (360). Donc la proposition est démontrée.

Définition. — Le plan ABCa qui passe par la droite AB et qui est perpendiculaire au plan MN est le plan projetant de la droite AB sur le plan MN.

Théorème 111.

399. Si deux plans MN, PQ sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB perpendiculaire à l'un de ces plans MN sera parallèle à l'autre PQ ou y sera contenue tout entière.

Supposons d'abord que la droite AB ne rencontre pas l'intersection QR des deux plans, et par un point C du plan PQ menons une parallèle CD à la droite AB; celte parallèle sera aussi perpendiculaire au plan MN (31G), et par conséquent elle sera contenue dans le plan PQ (360). Ainsi, la droite AB est parallèle à une droite CD située dans le plan PQ; donc elle est parallèle à ce plan.

Maintenant, si la droite AB rencontrait l’intersection QR, on a vu (360) qu’elle serait contenue tout entière dans le plan PQ.

Démarqué. — La première partie de ce théorème peut se démontrer par la réduction à l’absurde. Car, si la droite AB n’était pas parallèle au plan PQ, elle le rencontrerait en un point 0, par exemple, et on pourrait de ce point abaisser sur QR une perpendiculaire qui serait aussi perpendiculaire au plan MN (338); donc on aurait deux perpendiculaires abaissées du point O sur le plan MN, ce qui est impossible.

Théorème IV.

iOO. Les projections ab, cd, de deux droites parallèles AB, CD, sur un plan MN sont parallèles.

Car les droites A a. Ce, qui projettent les points A, C, sur le . plan MN, sont parallèles (318), et, comme

. ? J? les droites AB, CI) sont aussi parallèles,

par hypothèse, il s’ensuit que les plans 7 projetants BA«, DCc sont parallèles (373). Donc les intersections ab, cJ de ces i . * p|ans par je pian MN, ou les projections

des droites AB, CD, sur ce plan, sont parallèles.

Théorème V.

401. On peut construire un angle trièdre ayant pour faces trois angles plans donnés, si la somme de ces angles est moindre que 4 droits, et si le plus grand est plus petit que la somme des deux autres,

Soient ASB, ASC, BSD, les trois angles plans donnés, situés sur le même plan, et supposons que l’angle ASB, adjacent aux deux autres, soit le plus grand.

Du point S comme centre, avec un rayon quelconque, je décris une circonférence qui coupe les côtés des angles aux points A, B, C, D; je prends l’arc AE = AC et je mène la corde CE qui sera perpendiculaire sur le rayon SA et divisée par SA, au point F, en deux parties égales; de même, je prends l’arc BG = BD et je mène la corde DG qui coupe le rayon SB au point H. En vertu de l’hypothèse, l’arc AB est plus grand que chacun des arcs AC, BD, et il est moindre que AC + BD ; donc après avoir pris sur AB l’arc AE = AC, le reste EB est moindre que BD, et, par conséquent, en prenant BG = BD, le point G tombera entre les points E et A, d’où il résulte que les cordes CE, DG se couperont en un point 0 situé dans l’intérieur du cercle.

Cela posé, j’élève OK perpendiculaire au plan ASB; du point F comme centre, avec le rayon FC, je décris dans le plan FOK un arc qui coupe OK en un point K; je mène la droite SK et je dis que l’angle trièdre SABK a pour faces les trois angles plans donnés.

Car la face ASB est d'abord un des angles donnés. D’ailleurs, la droite SA, située dans le plan ASB, est perpendiculaire à la projection OF de l’oblique KF sur le plan ASB, et par conséquent SA est aussi perpendiculaire à KF ( 337 ) ; ainsi, dans les triangles SFK, SFC, les angles SFK, SFC sont droits, le côté SF est commun, et le côté FK = FC par construction; donc ces triangles sont égaux, d’où il suit que l’angle KSF est égal à l'angle FSC ou au second angle donné ASC : et de plus.

20i GÉOMÉTRIE BANS L’ESPACE. LIVRE V.

SK = SC = SD. Do même, l’oblique Kll esl perpendiculaire à SB, el dans les triangles rectangles SHK, SUD, l’hypoténuse SK = SD et le côté SH est commun ; donc l’angle KS1I est égal au troisième angle donné BSD.

Remarque. — On a supposé dans la figure que les angles ASC, BSD, étaient aigus; mais ils pourraient être tous deux droits ou obtus, l’un aigu et l’autre droit ou obtus, l’un droit et l’autre obtus. Avec un peu d’attention on découvrira sans difficulté les modifications que doit subir la démonstration précédente dans ces différents cas.

Corollaire /. — D’après ce théorème et en vertu des n“ 383 et 384, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on puisse construire un angle trièdre avec trois faces données sont : i° que la somme de ses faces soit moindre que 4 droits ; 2° que la plus grande soit plus petite que la somme des deux autres.

Corollaire II. — Pour qu'on puisse former un angle trièdre ayant trois angles dièdres donnés, il faut et il suffit que la somme de ces angles dièdres soit comprise entre 2 droits et 6 droits, et que le plus petit, augmenté de a droits, soit plus grand que la somme des deux autres.

Nous avons vu (386) que ces conditions sont nécessaires; il ne reste plus qu’à démontrer qu’elles sont suffisantes.

Désignons par A, B, C, les angles dièdres donnés, parmi lesquels A est le plus petit, par u! , b', c', les suppléments des angles plans qui mesurent ces angles dièdres, et supposons qu’on ait

De là on déduit facilement

a' b' -+- c' < 4Jr, a' -H b' -+- c' > o, b' + c' > a'.

C)r, en vertu de ces dernières inégalités, on peut construire un angle trièdre ayant pour faces a', b', c', et par suite son an6'e trièdre supplémentaire; et ce dernier angle trièdre aura pour angles dièdres A, B, C. [Note 6i.]

DÉFINITIONS

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