CABE AB CADË ~ DE

EDAC AC EDFC- DF ‘

D’ailleurs, à cause de la similitude des triangles ABC, DEF (414), les rapports gg» gg» sont égaux ; donc

CABE EDAC CADE- EDFC’

d’où l’on voit que la troisième pyramide EDAC est moyenne proportionnelle entre les deux autres.

Cela posé, désignons par B la base inférieure ABC, par b la

MESURE DES EOLTÉDRES.

base supérieure DEF, par h la hauteur du trône, et par P, P', P”, les volumes des pyramides EABC, EDFC, EDAC ; on aura

p =3bx*.

P 'sjixli.

Ajoutant ces égalités membre à membre et représentant par V le volume du tronc, il vient

V=iA(B-HA-+-vB^xÂ).

2° Soit le tronc de pyramide quelconque ABCDE nAcrfe.

Sur le plan dé la base inférieure, construisons un triangle

FGA, équivalent à cette base (194), et soit une pyramide S'FGH de môme hauteur que la pyramide SABCDE; le plan abc prolongé déterminera dans la seconde pyramide la section fgh qui sera équivalente à la base supérieure abcde (415).

Maintenant les deux pyramides totales sont équivalentes, comme ayant des mesures égales, et, par une raison semblable, la pyramide partielle S abcde est équivalente à la pyramide partielle S 'fgh ; donc les deux troncs de pyramide sont aussi équivalents.

Or, le tronc FGH/gA a pour mesure le tiers de sa hauteur, mdltiplié par la somme de ses bases et d’une moyenne proportionnelle entre ces deux bases ; donc, en désignant par V le volume du tronc ABCDEaAc</e, par B, b, ses bases et par h sa hauteur, on aura encore

V = ^/i(B-t-A-t- v/BxTÂ)- [Note 67.]

Tuêorèse IV.

435. Un tronc de prisme triangulaire ABCDEF a pour mesure le tiers de sa base ABC, multiplié par la somme des perpendiculaires h, h', h ", abaissées sur cette base des sommets E, D, F de la section DEF.

Menons les plans EAC, EDC. Le tronc de prisme sera décomposé en trois pyramides EABC , EADC, EDFC, que nous désignerons par P, P', P".

La première EABC a pour base ABC et pour sommet le point E; donc on a

P = | ABCx/i.

La seconde EADC est équivalente à la pyramide BADC ; car ces pyramides ont la même baseADCet de plus elles ont des hauteurs égales, puisque EB parallèle à DA est aussi parallèle au plan ADC( 325). O, la pyramide BADC peut être considérée comme ayant pour sommet le point D et pour base ABC ; donc on a

P' = ^ ABC X h'.

Enfin la troisième pyramide EDFC est équivalente à la pyramide BAFC; car ces pyramides ont même hauteur et, de plus, leurs bases sont équivalentes, puisque les triangles DFC, AFC, ont un côté commun FC et leurs sommets D, A, situés sur une parallèle à FC. Mais la pyramide BAFC peut être regardée comme ayant pour sommet le point F et pour base ABC ; donc on a