DES POLYÈDRES SYMÉTRIQUES

Définitions.

437. Deux points A, A', sont symétriques par rapport à un k , plan MN, lorsque ce plan est perpendiculaire

sur le milieu a de la droite qui joint ces

«I — 7 deux points. On dit aussi que les points A.

/ aj / A' sont symétriquement placés par rapport au 1 plan.

Le plan MN est appelé plan de symétrie.

438. Deux figures sont symétriques par rapport à un plan, lorsque tout point de chacune de ces figures a son symétrique sur l’autre.

439. Dans deux polyèdres symétriques on appelle faces homologues, angles solides homologues, les faces et les angles solides dont les sommets sont symétriques.

Remarque. — Les théorèmes relatifs aux polyèdres symétriques dépendent de plusieurs lemmes que nous allons d'abord démontrer.

§ Ier. — LEMMES.

Lemme I.

440. La figure symétrique d’une droite AB, par rapport à un plan MN, est une ligne droite.

Du point A j'abaisse sur le plan de symétrie MN la perpendiculaire A« que je prolonge d'une longueur «A' égale à a A B et le point A' sera le symétrique du point A; je détermine de même le point B' symétrique il ‘ du point B, et je dis que la droite A' B' est la j ligne symétrique de AB.

: N En effet, d’un point quelconque C de la

droite AB abaissons sur le plan MN la per- ■T~ pendiculaire Ce que nous prolongerons jusqu’à la rencontre de A'B', au point C', et faisons tourner le trapèze ah BA autour de ab jusqu'à ce qu’il s’applique sur le trapèze ah B' A'; 011 verra facilement que ces deux trapèzes

POLYÈDRES SYMETRIQUES. 2b5

coïncideront et que c C se confondra avec cC. Ainsi le plan MX est perpendiculaire sur le milieu de CC' et, par conséquent, tout point C de la droite AB a son symétrique sur A' B'; donc AB a pour symétrique la droite A'B'.

Corollaire /. — La distance de deux points A et B est égale il celle de leurs symétriques A' et B'.

Corollaire II. — Si deux droites se coupent, leurs symétriques se coupent aussi, et les deux points d'intersection sont symétriques l'un de l'autre. Car le point d’intersection des deux premières droites doit avoir son symétrique situé à la fois sur les symétriques de ces droites.

Lemme II.

441. L'angle de deux droites AB, AC, est égal à l’angle formé par leurs symétriques A'B', A'C'.

Car les trois points A, B, C ont pour symétriques trois points tels que A', B', C'; , , donc, les deux triangles ABC, A'B'C', sont

/ b-‘--zr r ' c / équilatéraux entre eux et, par conséquent,

— ! 1— l’angle BAC = B' A'C'.

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Lemme III.