II. — THÉORÈMES RELATIFS AUX POLYÈDRES SYMÉTRIQUES

Théorème I.

hhh. Deux polyèdres ABCDEFGH, A' B' C' D' E' F' G' H' , symétriques par rapport à un plan MN , ont leurs faces égales chacune à chacune, et leurs angles solides homologues symétriques.

Car une face EFGH du premier polyèdre a pour figure symétrique une face E'F'G'H' du second, et ces deux faces sont égales comme ayant leurs côtés et leurs angles égaux chacun à chacun.

D’ailleurs les angles plans et les angles dièdres des angles solides E, E', par exemple, sont respectivement égaux et de plus, on peut faire coïncider l’angle solide E' avec l’angle solide EA'F"H‘', qui est le symétrique de l’angle solide E; donc les angles solides E, E', sont symétriques.

Corollaire I. — Un polyèdre n’a qu'un seul symétrique. Car, si P' et P" sont deux polyèdres symétriques du polyèdre P, construits par rapport à des plans de symétrie différents, les faces de P' et de P" sont égales entre elles, comme étant respectivement égales à celles de P, et de plus, leurs angles sol ides sont égaux, comme étant symétriques des angles solides de P. Donc les polyèdres P' et P" peuvent se superposer.

Corollaire II. — Deux polyèdres symétriques peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres symétriques chacun à chacun. Car on peut décomposer l’un des deux polyèdres en tétraèdres, ayant tous pour sommet commun un des sommets de ce polyèdre (436), et chacun de ces tétraèdres aura son symétrique dans l’autre polyèdre.