DES POLYÈDRES SEMBLABLES

Définitions.

447. On appelle polyèdres semblables ceux qui sont compris sous des faces semblables chacune à chacune et dont les angles solides homologues sont égaux.

On entend par angles solides homologues ceux qui sont formés par les faces semblables. Les sommets de ces angles sont des sommets homologues, et on appelle aussi droites homologues celles qui joignent deux sommets homologues, faces homologues celles qui sont semblables.

Remarque. — Puisque les angles solides homologues de deux polyèdres semblables sont égaux, il est évident que leurs angles dièdres sont aussi égaux chacun à chacun.

s 1". - TÉTRAÈDRES SEMBLABLES.

Tuéorèhe I.

448. Si on coupe un tétraèdre ABCD par un plan bed parallèle à l'une de ses faces BCD, on détermine un second tétraèdre A bed semblable au premier.

Car les côtés BC, bc , sont parallèles, comme intersections de deux plans parallèles coupés par un troisième ABC; de même les côtés CD, DB, sont parallèles aux côtés cd, db. Donc les quatre faces ABC, ACD, ADB, BCD, du premier tétraèdre sont semblables chacune à chacune aux quatre faces \bc, \cd, \db, bed, du second.

Maintenant, à cause de la similitude de ces faces, les angles trièdres B, b, ont leurs angles plans égaux chacun à chacun et, de plus, ces angles plans sont semblablement placés; donc B = b (390 ), et on a de même C = c, D = d.

Ainsi, les deux tétraèdres ont leurs faces semblables et leurs angles solides homologues égaux; donc ils sont semblables.

Remarque I. — Il est facile de voir que deux tétraèdres

TÉTRAÈDRES SEMBLABLES. 2îf)

temblables ont toutes leurs arêtes homologues proportionnelles.

. Réciproquement, deux tétraèdres sont semblables, lorsque leurs arêtes sont proportionnelles et semblablement placées. Car leurs faces sont respectivement semblables, comme ayant leurs côtés proportionnels, et leurs angles solides homologues sont égaux, comme ayant leurs angles plans égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.

Remarque II. — Si on divise les arêtes AB, AC, AD, d’un tétraèdre ABCI> dans un même rapport, aux points b, c, d