AB AC AD

le est-a-atre de telle sorte qu on ait : ^ J , et

qu’on mène les droites bc, cd, db, le tétraèdre Abcd sera semblable au premier.

Car bc sera parallèle à BC, cd'a CD (205); donc le plan bed sera parallèle à la face BCD (373).

Théorème II.

449. Deux tétraèdres sont semblables, lorsqu’ils ont un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement placées.

Soient les tétraèdres ABCD, abcd, dans lesquels l’angle dièdre AB est égal à l’angle dièdre ab, et supposons en outre que

les triangles ABC, ABD, soient semblables aux triangles abc, abd; je dis que ces tétraèdres sont semblables.

Prenons sur l’arête AB une longueur AE, égale à l’arête ab, et menons par le point E un plan, parallèle à la face BCD, qui détermine la section EFG. Les tétraèdres ABCD, AEFG, seront semblables; donc les faces AEF, AEG, sont semblables aux faces ABC, ABD, et par suite aux faces abc, abd : d'ailleurs AE = ab-, donc les triangles AEF, AEG, sont respectivement égaux aux triangles abc, abd.

Cela posé, portons le tétraèdre abcd sur le tétraèdre AEFG de manière que l’arête ab coïncide avec l'arête AE et l’angle dièdre ab avec son égal AE. Les deux triangles abc, abd, se confondront avec les triangles AEF, AEG, et par conséquent les tétraèdres abcd, AEFG, sont égaux.

Donc le tétraèdre abcd est semblable au tétraèdre ABCD.

450. Remarque. — Étant donnés le tétraèdre ABCD et le triangle bed semblable à la face BCD, on peut construire sur ce triangle un tétraèdre semblable au premier.

23o géométrie dans l’espace. — livre vi.

Menons le plan bca de manière que l'angle dièdre abcd soit égal à l’angle dièdre BC, puis dans ce plan faisons l’angle abc égal à ABC et l’angle acb égal à ACB; le tétraèdre abcd sera semblable à ABCD.

Car ces tétraèdres ont un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables et semblablement placées.

Théorème III.