POLYÈDRES SEMBLABLES

Je décompose le polyèdre donné en tétraèdres EABI), EDBC, ECBF, . . ayant tous pour sommet le point E, et,

après avoir pris sur l'arèle EA un point quelconque A', je détermine les sections A'B'D', D'B'C', C'B'F',..., en menant des plans respectivement parallèles aux plans des triangles ABD, DBG, CBF, . .

alors le polyèdre A'B'C'D'EF'G'H' est le polyèdre demandé.

Car les tétraèdres EA'B'D', ED'B'C', EC'B'F',. sont semblables chacun à chacun aux tétraèdres EABD, EDBC, ECBF,... (448), et on voit de plus que les tétraèdres semblables, qui composent les deux polyèdres, sont semblablement placés.

Remarque. — On peut construire à part un polyèdre abcdefgh qui satisfasse aux conditions demandées, en construisant le tétraèdre eabd semblable au tétraèdre EABD, le tétraèdre edb< semblable à EDBC,..., et en faisant en sorte que les tétraèdres semblables, qui composent les deux polyèdres, soient semblablement placés.

Théorème II.

453. Deux polyèdres ABCDEFGH, abcdefgh, sont semblables, lorsqu’ils sont composés d’un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

D'abord, en vertu de la similitude des tétraèdres EABD et

eabd, EDBC et edbc, ....

les angles solides des deux polyèdres sont égaux chacun à chacun, soit comme angles trièdres homologues de deux tétraèdres semblables, soit parce qu’ils sont composés d'un même nombre d'angles trièdres, respectivement égaux et disposés de la même manière.

Maintenant il s’agit de faire voir que les faces homologues des deux polyèdres sont semblables chacune à chacune.

Or, supposons, par exemple, que les deux triangles ABD, DBC, forment une face, du premier polyèdre; je dis que les

a32 GÉOMÉTRIE PARS l' ESPACE. — LIVRE VI.

triangles semblables abd, dbc, formeront aussi une face du second polyèdre. Car, à cause de la similitude des tétraèdres EABD et eabd, EDBC et edbc, les angles dièdres EDBA, edba, sont égaux, ainsi que les angles dièdres EDBC, edbc; mais la somme des angles dièdres EDBA, EDBC, est égale à deux angles dièdres droits; donc la somme edba -4- edbc a la même valeur et par conséquent les triangles abd, dbc, sont sur le même plan (363).

Ainsi, les polygones ABCD, abcd, sont composés d’un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés; donc ils sont semblables. On verrait de même que les autres faces des deux polyèdres sont semblables chacune à chacune.

Donc les polyèdres proposés sont semblables.

45i. Remarque I. — Réciproquement, deux polyèdres semblables ABCDEFGII, abcdefgh, peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Supposons que les faces ABCD, BCGF,. .., soient respectivement semblables aux faces abcd, bcgf,. .., puis décomposons le premier polyèdre en tétraèdres EABD, EDBC, ECBF,..., qui ont pour sommet commun le point E, et le second polyèdre en tétraèdres eabd, edbc, ecbf,..., qui ont pour sommet commun le pointe, homologue au sommet E.

A cause de la similitude des polyèdres, l’angle dièdre AB est égal à l’angle dièdre ab et les deux triangles ABE, ABD, sont semblables à leurs homologues abe, abd; donc déjà les tétraèdres EABD, eabd, sont semblables.

11 en résulte que les angles dièdres EDBA, edba, sont égaux; donc leurs suppléments EDBC, edbc, sont égaux. D’ailleurs, à cause de la similitude des tétraèdres EABD, eabd, et de celle des polyèdres, les triangles EI)B, edb, sont semblables, ainsi que les triangles DBC, dbc; donc les tétraèdres EDBC, edbc, sont aussi semblables.

De là on conclut l’égalité des angles dièdres EBCD, ebcd, et si on les retranche respectivement des angles dièdres FBCD, fbcd, qui sont égaux à cause de la similitude des polyèdres, les restes EBCF, ebcf, seront égaux. D'ailleurs, en vertu de la similitude des tétraèdres EDBC, edbc, et de celle des polyèdres, les triangles EBC, ebc, sont semblables, ainsi que les triangles BCF, bcf; donc les tétraèdres EBCF, ebcf, sont semblables, et on peut continuer ainsi, quel que soit le nombre des tétraèdres qui composent les deux polyèdres.

Remarque II. — Les arêtes homologues de deux polyèdres semblables sont proportionnelles. Car les côtés de deux faces semblables sont proportionnels, et de plus, deux côtés