POLYÈDRES SEMBLABLES
homologues de ces faces sont aussi les côtés homologues de deux autres faces semblables, adjacentes aux premières, et ainsi de suite.
Le rapport de deux arêtes homologues est le rapport de similitude des deux polyèdres.
Remarque III. — A cause de la similitude des tétraèdres EI)BC, edbc, le rapport de la diagonale EC à son homologue ec est égal au rapport de l’arête BC à son homologue bc ; et, comme la décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres semblables peut s’effectuer en parlant de deux sommets homologues quelconques, il s’ensuit que te rapport de deux diagonales homologues de deux polyèdres semblables est égal au rapport de similitude de e.es polyèdres.
Et, si on rapproche cette remarque de la précédente et de celle qui termine le n° 212, il s’ensuit que les droites, qui joignent les sommets homologues de deux polyèdres semblables, sont proportionnelles.
Remarque IF. — Si on coupe, une pyramide quelconque SABCDE par un plan parallèle à sa base, la pyramide partielle Sabcde sera semblable à la pyramide totale.
Car les tétraèdres SABC et S abc, SACD et S acd, . . . , sont semblables, et de plus, les tétraèdres semblables, qui composent les deux pyramides, sont semblablement placés.
Théorème III.
455. Si deux polyèdres P, p, sont semblables et qu'on joigne respectivement tes sommets de deux triangles homologues ABC, abc, pris dans deux faces semblables ABCDE, abede, aux sommets F, G, H,. . ., et f, g, h,..., situés hors de ces faces, les tétraèdres FABC, GABC,.. ., et fabc, gubc ... ., formés dans les deux polyèdres, seront semblables chacun à chacun.
Car les tétraèdres FABC et fabc sont semblables, comme ayant leurs arêtes proportionnelles et semblablement placées (454, Rem. ///); il en est de même des tétraèdres GABC et gabc,
456. Remarque. — Réciproquement, si les tétraèdres FABC, GABC, . . . , et f abc, gabc, . . . , formés dans deux polyèdres I’, p, en joignant respectivement les sommets de deux triangles homologues ABC, abc, pris dans deux faces semblables ABCDE. abcde, aux sommets F, G, 11, . . . , et f, g, h, . . . , situés hors de ces faces, sont semblables chacun à chacun, les deux polyèdres seront semblables.
En effet, en vertu de l'hypothèse, les triangles FAB, GAB, sont respectivement semblables aux triangles fab, gab, et de plus, les angles dièdres FABC, GABC, sont égaux aux angles dièdres fabc, gabc, chacun à chacun; donc on a
dièdre FABC — dièdre GABC = dièdre fabc — dièdre gabc ou dièdre FABG = dièdre fabg.
Donc, les deux tétraèdres FABG, fabg, sont semblables, comme ayant un angle dièdre égal, compris entre deux faces semblables et semblablement disposées, et par conséquent on a
