La surface latérale d’un prisme droit ABCDEF... a
pour mesure le périmètre de sa base multiplié par sa hauteur.
Car cette surface se compose des rectangles ABGF, BCHG,..., qui ont chacun pour hauteur la hauteur AF du prisme; donc
ABGF -+- BCHG + . . . = ( AB 4- BC -H. X AF.
Remarque. — En désignant par S, P, II ia surface latérale, le périmètre de la base et la hauteur d’un prisme droit, on a
Lemmk II.
479. La surface latérale d’un cylindre est la limite vers laquelle tend la surface latérale d'un prisme inscrit dans te cylindre et ayant pour base un polygone régulier, lorsque le nombre des côtés de ce polygone double indéfiniment.
En effet, concevons deux polygones réguliers de n côtés, l’un inscrit et l’autre circonscrit à la base d’un cylindre, puis les polygones réguliers inscrits et circonscrits de 2 n, 4 n, 8 n,... côtés, et imaginons des prismes droits ayant pour bases ces polygones et pour hauteur celle du cylindre; en désignant par p, P, r, R les périmètres et les apothèmes des polygones semblables qu’on obtient successivement, par s, S les surfaces totales des prismes droits qui ont pour bases ces polygones, et par II la hauteur du cylindre, on aura constamment
S = PII + PR, s = p II -H pr,
S — r = ( P — /j)H+ PR — pr.
Or, à mesure que le nombre des côtés des polygones augmente, les deux produits PR et pr tendent chacun vers la limite cire. RxR (287), et, par conséquent, leur différence PR — pr tend vers la limite zéro, et, comme (P — />)H tend aussi vers cette dernière limite, il s’ensuit que la différence S — s peut devenir aussi petite qu’on voudra. Mais la surface totale du cylindre est comprise entre S et a; donc ces deux surfaces ont pour limite commune la surface totale du cylindre. Ainsi on a
surface totale du cylindre = lim. s,
= lim. //Il -H- lim. pr,
= lim./>H-+-circ.Rx R;
d’ailleurs, la somme des bases du cylindre est égale à cire. R X R ; donc la surface latérale du cylindre est égale à In limite de />1I ou à la limite vers laquelle tend la surface latérale du prisme inscrit, lorsque le nombre des côtés de sa base double indéfiniment
GÉOMÉTRIE DANS é’eSPACE. LIVRE TII.
Théorème.
480. La surface latérale d’un cylindre a pour mesure lu circonférence de sa base multipliée par sa hauteur.
Dans la base du cylindre, engendré par le rectangle AOO' A', inscrivons un polygone régulier quelconque, le carré ABCD par exemple, puis les polygones réguliers de 8, 16, 3a,... côtés, et imaginons des prismes droits, ayant pour bases ces polygones et pour hauteur celle du cylindre ; en désignant par S la surface latérale de chacun de ces prismes, par P le périmètre de sa base, par H sa hauteur, on aura constamment l’égalité
dans laquelle S et P sont des quantités variables.
Donc, en vertu du principe des limites (282), on aura aussi
lim.S = lim.P X H, ou
surface latérale du cyl. = cire. OA X H.
Remarque I. — En représentant le rayon OA par R, il vient surf.lat. cyl. = a-RII.
Remarque II. — Les surfaces latérales S, s, de deux cylindres semblables sont entre elles comme les carrés des hauteurs H, h de ces cylindres, ou comme les carrés des rayons R, r de leurs bases. Car on a
S = 2— RH, s — ir.rh,
vît, si on divise la première égalité par la seconde, il vient S R H
d’ailleurs, à cause de la similitude des cylindres, les rapports
RH
— et y; sont égaux; donc
Mesure des surfaces latérales du cône et du tronc de cône.
Lkmhe 1.
481. La surface latérale d’une pyramide régulière SABCD { 407) a pour mesure le périmètre de sa base multiplié par la moitié de son apothème SE. (On appelle apothème d’une pyramide régulière la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l'un des côtés de sa base.)
Car celte surface se compose des triangles isocèles égaux SAB, SBC, ... ; donc
SE
SAB -+- SBC -h - .. = ( AB -+-BC-+-. ..)><—•
Remarque. — En désignant par S, P, a, la surface latérale, le périmètre de la base et l’apothème d’une pyramide régulière, on a
Lemmk II.
482. L'apothème SA d’un cône est la limite vers laquelle tend l'apothème SE d'une pyramide régulière SABCD inscrite dans le cône, lorsque le nombre des côtés de la base de la pyramide double indéfiniment.
Car, dans le triangle SAE, on a
