SA— SE<AE

Or, si l’on suppose que le nombre des côtés du polygone régulier ABC1) double indéfiniment, le demi-côté AE de ce polygone tendra vers la limite zéro; donc, l’apothème SE a pour limite l’arête SA ou l’apothème du cône.

Lehme III.

483. La surface latérale d’un cône est la limite vers laquelle tend la surface latérale d'une pyramide régulière, inscrite dans le cône, lorsque le nombre, des côtés de sa base double indéfiniment.

En effet, concevons deux polygones réguliers de «côtés, l'un inscrit et l’autre circonscrit à la base d’un cône, puis les polygones réguliers inscrits et circonscrits de an, 4«, 8/1,. . . côtés,

et imaginons des pyramides ayant pour bases ces polygones et pour sommet celui du cône; en désignant par p, P, r, R, les périmètres et les apothèmes des polygones semblables qu’on obtient successivement, par s, S, les surfaces totales des pyramides qui ont pour bases ces polygones, et par a , A, leurs apothèmes, on aura constamment

S = Px-A+Px-R,

*=pxl-a+px^r,

et, par suite,

S-s—^{PK—pn)-h^[VR—pr).

Or, à mesure que le nombre des côtés des polygones augmente, les deux produits PR et pr tendent chacun vers la limite cire. R x R, et, par conséquent, leur demi-différence

tend vers la limite zéro, et, comme ^ ( PA — pa) tend aussi

vers celle dernière limite, il s’ensuit que la différence S — s peut devenir aussi petite qu’on voudra. Mais la surface totale du cône est comprise entre S et a; donc ces deux surfaces ont pour limite commune la surface totale du cône. Ainsi, on a

surface totale du cône = lim. s,

= lim. -pa-h lim. ^ pr,

= lim. ~ + “ cire. R X R ;

d'ailleurs, la base du cône est égale à ^ cire. R X R; donc, la

surface latérale du cône est égale à la limite de ^ pa ou à la limite vers laquelle tend la surface latérale de la pyramide inscrite, lorsque le nombre des côtés de sa base double indéliniment.

Théorème I.

481. La surface latérale d'un cône a pour mesure la circonférence de sa base multipliée par la moitié de son apothème.

Dans la base du cône engendré par le triangle SOA, inscrivons un polygone régulier quelconque, le carré ABCD par

exemple, puis les polygones réguliers de 8, 16, 3a,. . . côtés, et imaginons des pyramides ayant pour bases * ces polygones et pour sommet celui du cône; en désignant par S la surface latérale de chacune de ces pyramides, par P le périmètre de sa base, par a son apothème, on aura constamment l'égalité

dans laquelle S, P et « sont des quantités variables.

Donc, en vertu du principe des limites, on aura aussi

lim. S= lim. P X - lim. a

surface latérale du cône = cire. OA X - SA .

Remarque I. — En représentant le rayon OA par R, et l’apothème SA par A, il vient

surf. lat. cône =jkRx-A = xRA.

Remarque II. — Les surfaces latérales de deux cônes semblables sont entre elles comme les carrés des hauteurs de ces cônes ou comme les carrés des rayons de leurs bases. ( L oir le n" 480.)

Théorème 11.

485. La surface latérale d’un tronc de cône ABCD a pour mesure son apothème BD multiplié par la demi-somme des circonférences de ses bases.

Du point B élevons sur BS la perpendiculaire BE, égale à la circonférence OB, menons la droite SE et soit DF parallèle à

elles comme leurs rayons (289) ; égaux

BE ; je dis d'abord que la droite DF est égale à la cir- . conférence O'D.

Car les triangles SBE, SDF sont semblables, ainsi que les triangles SBO, SDO', et de plus on sait que deux circonférences sont entre donc on a la suite de rapports

BE SB OB cire. OB DF - SD — O'D- cire. O'D-

a5î GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. LIVRE TU.

Or BE = cire. OB par construction ; donc DF = cire. O' D. Cela posé, la surface latérale du cône SOB, qui a pour mesure cire. OB X - SB, est équivalente à la surface du triangle a

SBE, qui a pour mesure BEx ^SB, et, par une raison semblable, la surface latérale du cône SO' D et la surface du triangle SDF sont équivalentes ; donc la surface latérale du tronc de cône est équivalente à la surface du trapèze BEFD et, par conséquent, elle a pour mesure