III. - MESURE DES VOLUMES DU CYLINDRE, DU CONE ET DU TRONC DE CONE

Mesure du volume du cylindre.

Lemme.

486. Le volume d'un cylindre est la limite vers laquelle tend le volume d’un prisme inscrit dans le cylindre et ayant pour base un polygone régulier, lorsque te nombre des côtés de ce polygone double indéjiniment.

En effet, concevons deux polygones réguliers de n côtés, l’un inscrit et l’autre circonscrit à la base d’un cylindre, puis les polygones réguliers inscrits et circonscrits de 2R,4n,8n,... côtés, et imaginons des prismes droits ayant pour bases ces polygones et pour hauteur celle du cylindre ; en désignant par i, S les surfaces des polygones semblables qu’on obtient successivement, par e, V les volumes des prismes droits qui ont pour bases ces polygones, et par H la hauteur du cylindre, on aura constamment

et, par suite, V — v — (S — 4)H.

Or, à mesure que le nombre des côtés des polygones augmente, le second membre (S — 4) H et par conséquent le premier V — e tendent vers la limite zéro. Mais le volume du cylindre est compris entre V etc; donc ces deux volumes ont pour limite commune le volume du cylindre.

Ainsi, le lemme est démontré.

487. Ln cylindre a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Dans la base du cylindre, engendré par le rectangle AOO'À, inscrivons un polygone régulier quelconque, le carré ABCD par exemple, puis les polygones réguliers de 8, 16, 3a,... côtés, et imaginons des prismes droits, ayant pour bases ces polygones et pour hauteur celle du cylindre; en désignant par V le volume de chacun de ces prismes, par B sa base, par H sa hauteur, on aura l’égalité

dans laquelle Y et B sont des quantités variables.