MESURE DES VOLUMES DC CYLINDRE, ETC
Donc on aura aussi
lim. V = lim. B x II
ou vol. du cyl. = cercle OA X H.
Remarque /. — En représentant le rayon OA par R, il vient vol. cyl. = ttR’H.
Remarque II. — Les volumes V, v de deux cylindres semblables sont entre eux comme les cubes des hauteurs II, A de ces cylindres, ou comme les cubes des rayons de leurs bases. Car on a
V = rR!H, v=.Ttr' h,
et, si on divise la première égalité par la seconde, il vient
d’ailleurs, à cause de la similitude des cylindres, les rapports
RH
— et sont égaux ; donc
Mesure des volumes du cône et du tronc de cône.
Lemhe.
488. Le volume d'un cône est la limite vers laquelle tend le volume d'une pyramide régulière, inscrite dans le cône, lorsque le nombre des côtés de sa base double indéfiniment.
Démonstration analogue à celle du n" 48(i.
Théorème I.
489. Un cône a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.
Dans la base du cône SOA, inscrivons un polygone régulier quelconque, le carré ABCD par exemple, puis les polygones réguliers de 8, 16, 32,... côtés, et imaginons des pyramides ayant pour bases ces polygones et pour sommet celui du cône; en désignant par V le volume de chacune de ces pyramides, par B sa base, par H sa hauteur, on aura l’égalité
V = iBxH,
a56 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. LIVRE VU.
et, par suite, lim. V = ^ lim. B X H
ou vol. cône = ^ cercle OA X H.
Remarque I. — Si l’on représente le rayon OA par R, il vient vol. cône = - -R’H ;
d’où l'on voit qu’un cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.
Remarque II. — Deux cônes semblables sont entre eux comme tes cubes de leurs hauteurs ou comme les cubes des rayons de leurs bases.
Théorème II.
490. Un tronc de cône ABCD a pour mesure le tiers de sa hauteur 00' multiplié par la somme de ses bases et d’une moyenne proportionnelle entre ces deux bases.
En effet, soit un triangle EFG, situé sur le plan de la base OB et équivalent à celte base, et construisons une pyramide
S' EFG dont la hauteur soit égale à SO ; le plan de la base O'D déterminera dans la pyramide la section HKL, et je dis d’abord que cette section est équivalente à la base O'D.
Car les cercles OB, O'D sont entre eux comme les carrés de leurs rayons OB, O'D (289), ou comme les carrés des hauteurs SO, SO', et les triangles EFG, HKL sont entre eux comme les carrés de ces mêmes hauteurs (415); donc on a
cercle OB EFG
cercle O'D- HKL-
Or, le triangle EFG est équivalent au cercle OB ; donc le triangle HKL est aussi équivalent au cercle O'D.
Cela posé, le cône SOB, qui a pour mesure cercle OB x ^ SO, est équivalent à la pyramide S' EFG qui a pour mesure EFG X - SO, et, par une raison semblable, le cône SO'D est équivalent à la pyramide S' HKL; donc le volume du tronc de
cône est équivalent à celui du tronc de pyramide et, par conséquent, il a pour mesure ( i3l)
^ 00' ( EFG -+- HKL4- \ ÈFG X IlkL)
OU
^ 00' (cercle OB 4- cercle 0' D 4- ycercleOB x cercle O U).
Remarque. — Si l’on désigne par V le volume du tronc de cône, par II sa hauteur et par R, r les rayons de ses bases, on a
V = ^H(rR»4-Br*-+-rRr)
ou Y = ^ r. II (R’ 4- r’ 4- Rr). [Notes et 76.]
Élément!.
