SECTIONS PLANES ET PLAN TANGENT

ront des obliques qui, étant égales, s’écarteront également du pied de la perpendiculaire 00'; donc

et, par conséquent, la section ABCD est un cercle qui a pour centre le point 0'.

Remarque /. — Si le plan sécant passe par le centre, la section est un cercle dont le rayon est celui de la sphère. Cette section est un grand cercle cl toute autre section plane est un petit cercle.

Ainsi, tous les grands cercles d'une même sphère ou de sphères égales sont égaux entre eux.

Remarque II. — Deux grands cercles se coupent mutuellement en deux parties égales. Car leur intersection est un diamètre de la sphère, qui est en même temps un diamètre commun à ces deux cercles.

Remarque III. — Tout grand cercle divise la sphère et sa surface en deux parties égales. Car, en séparant les deux hémisphères et en les appliquant l’un contre l’autre de manière que les deux grands cercles coïncident, les deux portions de la surface de la sphère coïncideront pareillement, sans quoi quelques-uns de leurs points seraient inégalement éloignés du centre.

Remarque IF. — Par deux points, donnés sur la surface d’une sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle et, en générai, on nen peut faire passer qu'un. Car ces deux points et le centre déterminent la position d’un plan.

Cependant, si les points donnés étaient les extrémités d’un même diamètre, ces points et le centre étant en ligne droite, on pourrait faire passer par ces deux points une infinité de circonférences de grands cercles.

Remarque F. — Le centre 0' d’un petit cercle et le centre 0 de la sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan du petit cercle.

Remarque FI. — L es petits cercles sont d'autant plus petits qu’ils sont plus éloignés du centre de la sphère. Car en menant par la droite 00' un plan quelconque ACM, ce plan coupera le plan ABCD suivant une droite AC, qui sera une corde du grand cercle ACM et en même temps un diamètre du petit cercle 0' ; or, la corde AC sera d’autant plus petite que la distance 00' sera plus grande.

Tuêorème II.

496. Tout plan MN, perpendiculaire à l'extrémité du rayon OA, est tangent à la sphère.

Car la perpendiculaire OA est plus courte que toute oblique OB ; donc le point B est situé hors de la sphère. Ainsi, le plan MN n'a que le point A commun

* 1 — . avec la sphère; donc il est tangent.

' pV X” Remarque. — Réciproquement, tout plan \ tangent à la sphère au point A est perpendio J culaire au rayon mené au point de contact.

Car tous les points du plan, autres que le point A, étant extérieurs à la sphère, le rayon OA est la plus petite droite qu’on puisse mener du point O au plan MN ; donc OA est perpendiculaire à MN.

Corollaire I. — Par un point d'une sphère on peut mener un plan tangent à celte sphère et on n'en peut mener qu'un.

Corollaire II. — La surface de ta sphère est convexe (475).

Corollaire III. — Toute normale AN' à une sphère passe par son centre.

Définition. — Une droite est tangente à une sphère, lorsqu’elle n’a qu’un point commun avec sa surface. Ainsi, toutes les droites menées dans le plan tangent MN, par le point de contact, sont tangentes à la sphère OA.

Tiiéorëme 111.

497. L’intersection des surfaces de deux sphères 0, 0' est une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres et dont le centre est situé sur cette même ligne.

Par la droite 00' menons un plan; ce plan coupera les deux sphères suivant deux grands cercles dont les circonfc-

rences se rencontreront aux points

P — -v A, B, et la ligne des centres sera

( i \ perpendiculaire sur le milieu C de

E\ o FK/dÔ' 1<T la corde commune AB.

Maintenant, faisons tourner le plan 00' A autour de 00'; les deux demi-circonférences DAE, FAG engendreront les surfaces des deux sphères et le point A décrira leur ligne d’intersection.

Or, dans ce mouvement, la droite CA reste constamment

POLES d'un CERCLE. î6t

perpendiculaire à la ligne des centres, et, de plus, elle ne change pas de longueur; donc celte droite se meut dans un plan perpendiculaire à 00' (314) et le point A décrit une circonférence qui a pour centre le point C. Par conséquent le; théorème est démontré.

Remarque I. — La droite 00' est l’axe de la circonférence CA (323); donc l’intersection des surfaces de deux sphères est une circonférence qui a pour axe la ligne des centres.

Remarque II. — Par la ligne des centres de deux sphères quelconques, concevons qu’on mène un plan ; çe plan coupera les surfaces des sphères suivant deux circonférences dont les centres et les rayons seront ceux des sphères elles-mêmes. Alors il est clair que les deux circonférences et les deux sphères seront à la fois ou tangentes extérieurement, ou extérieures l’une à l’autre, ou tangentes intérieurement, ou intérieures l’une à l’autre, ou sécantes. Donc les relations qui • ont lieu entre la distance des centres et les deux rayons, pour les différentes positions relatives des deux circonférences, auront encore lieu pour les positions correspondantes des deux sphères.