Tout tétraèdre SABC peut être inscrit dans une sphère

Soient O, O' les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC, ABS, et Ox, O' y, les axes de ces cercles (323); puis par le point D, milieu de AB, menons le plan EDF perpendiculaire à AB. Ce plan passera d'abord par les points O, O', qui sont également distants des points A et B (319); de plus ce même plan, étant perpendiculaire à AB, sera aussi perpendiculaire aux deux faces ABC, ABS (356), et par suite il contiendra les deux axes 0.r, 0'^-(360). Donc ces axes, qui sont respectivement perpendiculaires aux côtés DF, DE, de l’angle EDF, se rencontreront en un point O' (83) et ce point sera également distant des quatre sommets A, B, C, S; donc la sphère décrite du point O" comme centre, avec le rayon O'A, sera circonscrite au tétraèdre SABC.

Remarque I. — Tout point également distant des quatre sommets A, B, C, S doit se trouver à la fois sur O* et sur Ü'y(323); donc la sphère qui a pour centre O' et pour rayon 0"A est la seule qu’on puisse circonscrire au tétraèdre.

îG4 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. LIVRE VII.

Remarque II. — Le point O" appartient à chacun des plans menés perpendiculairement sur les milieux des six arêtes; donc tous ces plans se coupent en un même point. Pour déterminer ce point, il suffit de mener trois de ces plans, pourvu toutefois qu’ils ne soient pas perpendiculaires aux trois côtés d’une même face.

Corollaire. — Par quatre points A, B, C, S, non situés dans le même plan, on peut faire passer une sphère et on n’en peut faire passer qu'une.

Théorème II.