Tout tétraèdre SABC peut être circonscrit à une sphère

Soient ABO, ACO, BCO les plans bissecteurs des angles dièdres AB, AC, BC, adjacents à une même face ABC. Les deux plans ABO, ACO se couperont suivant une droite Ax, et le troisième plan BCO coupera Ax en un point O ; or le point O, appartenant au plan bissecteur ABO, est également distant des deux faces ABC, ABS, et on voit de même que ce point est également distant des faces ABC, ACS, puis des faces ABC, BCS.

Si donc du point O on abaisse sur la face ABC la perpendiculaire OD, la sphère décrite du point O comme centre, avec OD pour rayon, sera tangente aux quatre faces du tétraèdre SABC, et par conséquent le tétraèdre sera circonscrit à la sphère.

Remarque I. — Tout point également distant des quatre faces du tétraèdre doit se trouver à la fois sur les trois plans bissecteurs ABO, ACO, BCO; donc la sphère, qui a pour centre le point O et pour rayon OD, est la seule qu'on puisse inscrire dans le tétraèdre.

Remarque II. — Le point O appartient à chacun des plans bissecteurs des six angles dièdres du tétraèdre SABC; donc tous ces plans se coupent en un même point. Pour déterminer ce point, il suffit de mener trois de ces plans, pourvu qu’ils ne soient pas les plans bissecteurs des angles dièdres d’un même angle trièdre.

Remarque III. — On peut décomposer un polyèdie, circonscrit à une sphère, en pyramides ayant chacune pour sommet le centre de la sphère, pour base l’une des faces du polyèdre et pour hauteur le rayon de la sphère. Donc tout poly èdre circonscrit a pour mesure le tiers du produit de sa surface par le rayon de la sphère inscrite dans ce polyèdre.

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