V-T ; /'î\ par lu projection A' B' de cette conte
j sur le diamètre.
* E* ® B’ e v Menons les rayons OA, OB, et abaissons sur la corde AB la perpendiculaire OC; on aura
vol AMB = vol. OAMB — vol. OAB ,
= zone AB x ^ OA — surf. AB x ^ OC ,
= ^ rrÔÂ1 X A' B' — | -OC’ X A' B',
= |îrA'B'(ÔÂI — ÔC>
Mais OA — OC - AC =
donc vol. AMB = ^ îtÂb’ X A' B'.
Observation. — Ce théorème peut être regardé comme un lemme qui doit servir pour la démonstration du théorème suivant.
Théorème III.
522. I n segment sphérique a pour mesure sa hauteur multipliée par la demi-somme de ses bases, plus le volume de la sphère qui aurait pour diamètre cette même hauteur.
Soit un demi-cercle EM F. et des extrémités de l’arc AB abaissons sur le diamètre EF les perpendiculaires AA', BB'. La ligure AMBB'A', en tournant autour de EF, engendrera un segment sphérique dont les bases ont pour rayons les perpendiculaires
AA', BB', et dont la hauteur est A'B', et, en désignant les droites BB', AA', A'B' par m, n, A, il s'agit de démontrer qu'on a
vol. AMBB' A' = A x
jt m* -t- r.n'
Or, si l’on mène la corde AB, on voit que le segment sphérique est la somme du tronc de cène engendré par le trapèze ABB'A' et du solide engendré par le segment circulaire AMB; donc
vol. AMBB' A' = vol. ABB' A' 4- vol. AMB,
= ^ jt A( «’ -4- n* 4- mn ) 4- i it AB X A ,
= jt 7r /*( ani’ 4-2/1’ -t- 2wm) 4- AB X A ,
= i T:h[im2 4- an’+ 2 mn 4- AB )•
Mais, en menant AC parallèle à EF, on a
Ali =BC’ + ÂC\
= /n’ 4- — 2 mn -t- A*.
Mettant cette valeur à la place de AB dans l’expression du segment sphérique et effectuant les réductions, il vient
vol. AMBB' A' = g jrA(3m’4- 3/i* 4- A3),
Remarque. — Le volume engendré par EMBB' est un segment sphérique à une seule base, et il a pour mesure
EB' X BB 4- £ -EB'3. [Note 79.]
Cylindre et cône équilatéral circonscrits à la sphère. Théorème 1.
523. I.e volume du cylindre circonscrit à la sphère est au volume de la sphère comme 3 est à i, et la surface totale de ce cylindre est à la surface de la sphère dans le même rapport. Car, en désignant le rayon de la sphère par R, on aura
vol. cyl. = ttR’ X 2.R = arR\
Maintenant on a aussi
surf, totale du cyl. = îrRXîR+ îjrR1 = 6rR!, surf. sph. = 4~R!;
surf. tôt. cyl. 6 3 surf. sph. 4 ~ 3
Remarque I. — La surface latérale du cylindre est égale à 2*ltX îR ou à 4“R’; donc elle est égale à la surface de la sphère.
Remarque II. — Concevons un polyèdre circonscrit à la sphère OA et désignons son volume par V, sa surface par S; on aura (505)
mais vol. sph. = surf. sph. X ^ R ;
donc
V = S vol. sph. surf. sph.
Ainsi, le volume d'un polyèdre circonscrit à la sphère est au volume de la sphère comme la surface du polyèdre est à la surface de la sphère.
De cette proposition on peut déduire, comme cas particulier, que le volume du cylindre circonscrit à la sphère est au volume de la sphère comme la surface totale du cylindre esta la surface de la sphère. Pour cela il sulfil de remarquer que
le volume et la surface totale du cylindre sont les limites vers lesquelles tendent les volumes et les surfaces totales des prismes droits circonscrits à la sphère et ayant respectivement pour bases un premier polygone régulier, le carré par exemple, puis les polygones réguliers de 8, 16, 32,. . . côtés.
Observation. — Ce théorème, dû à Archimède, comme ta plupart de ceux qui se trouvent dans le Livre VII, est surtout remarquable par sa simplicité. La figure qui s’y rapporte fut gravée sur le tombeau de ce grand géomètre.
ThEorème U.
est ait
Le volume du cône équilatéral circonscrit à la sphère volume de la sphère comme g est à 4, et la surface totale du cône est A la surface de la sphère dans le même rapport.
Car on sait que le côté AB du triangle équilatéral circonscrit au cercle OC est le double du côté du triangle équilatéral inscrit, et que sa hauteur SC est le triple de OC ('275); donc, en désignant le rayon OC
par R, on aura
vol. cône = ^ -CB X SC,
= rR!x3R, = 3t:R:.
D'ailleurs,
donc
vol. sph. = Tj kR5:
vol. cône 3 g
vol. sph. — 4 4
Maintenant on a aussi
surf, totale du cône = 2-R \/3 X R v^3 -+- 3rR’ = 9îtR’,
donc
surf. sph. = 4~RJ; surf. lot. cône o
____ __ __ — te. .
surf. sph. 4
Remarque. — Soit R le rayon d'une sphère ; on aura
vol. cône équil. cire. = 37tR\ vol. cyl. cire. = 2irR* ;
donc le volume du cône équilatéral circonscrit à une sphère
280 géométrie dans l’espace. — livre vu.
est au volume du cylindre circonscrit à la même sphère comme 3 est à 2. On verrait de même que la surface totale du cône équilatéral circonscrit à une sphère est à la surface totale du cylindre circonscrit à la même sphère dans le rapport de 3 ù a.
Ainsi, le volume du cylindre circonscrit <1 une sphère est moyen proportionnel entre le volume du cône équilatéral circonscrit et le volume de la sphère ; et la surface totale du cylindre circonscrit ù une sphère est aussi moyenne proportionnelle entre la surface totale du cône éauilatéral circonscrit et la surface de la sphère
PLUS COURT CHEMIN d’üN POINT A UN AUTRE SUR LA SPHERE. 281
