THÉORÈME

525. Le plus court chemin d'un point à un autre, sur la surface de la sphère, est l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, qui joint ces deux points.

Pour le démontrer, nous établirons d’abord les deux lemmes suivants.

Lemme I.

Si deux arcs de grands cercles AB, AC sont égaux, les plus courts chemins entre leurs extrémités seront aussi égaux.

Car on peut regarder les arcs AB, AC comme étant situés sur deux sphères égales et superposées, puis faire tourner ta seconde autour du diamètre AD, jusqu’à ce que l'arc AC coïncide avec l’arc AB; alors il est clair que les deux plus courts chemins en question sont égaux, sans quoi il y aurait, du point A au point R, deux plus courts chemins inégaux, ce qui est impossible.

Lemme IL

Si un arc de grand cercle AB, moindre qu'une demi-circonférence, est plus grand qu'un autre arc de grand cercle AC, le plus court chemin entre les extrémités du premier arc sera plus grand que le plus court chemin entre les extrémités du second.

Car on peut encore regarder les deux arcs AB, AC comme

283 géométrie r»*>s l’espace. — litre tiii.

étant situés sur des sphères égales et superposées, puis faire tourner la seconde autour du diamètre AD, jusqu’à ce que l’arc AC ait repris sa position primitive. Le point C décrira \ine circonférence (499) qui coupera évidemment l’are AB en un point E, ainsi que le plus court chemin de A en B, quel qu’il soit, AHGB par exemple, en un point G, et menons l’are de grand cercle AG.

L’arc AG sera égal à l’arc AC et, par conséquent, le plus court chemin du point A au point G est égal au plus court chemin du point A au point C. Donc le plus court chemin du point A au point B est plus grand que le plus court chemin du point A au point C.

Ces lemmes étant démontrés, je dis que l'arc de grand cercle AB, moindre qu’une demi-circonférence, est le plus court chemin du point A au point B.

En effet, supposons, s’il est possible, que le plus court chemin entre ,A et B passe par le point C, situé hors de l'arc AB; alors je mène les arcs de grands cercles AC, BC, et les rayons OA, OB, OC. Je forme ainsi un angle trièdre OABC, dans lequel l’angle plan AOB est moindre que la somme des deux autres (383); mais chacun de ces angles plans a pour mesure l'arc compris entre ses cèles ; donc on a aussi

AB < AC -f- CB,

et, si l'on prend sur AB l’arc AD égal à l’arc AC, on aura DB < CB.

Maintenant, puisque l’arc AD = AC, le plus court chemin du point A au point D est égal au plus court chemin du point A au point C; d'ailleurs, on a supposé que le plus court chemin du point A au point B passait par le point C; donc il s’ensuivrait que le plus court chemin du point C au point B serait moindre que le plus court chemin du point D au point B, ce qui est impossihle d’après le second des lemmes précédents, et, par conséquent, il est pareillement impossible que le plus court chemin du point A au point B passe par le point C. Donc l’arc de grand cercle AB est ce plus court chemin.

Remarque 1. — On a supposé dans cette démonstration que l’arc AB était plus grand que l’arc AC; car, si l’on avait AB< AC, le plus court chemin de A en B serait moindre que le plus