PC < PB

Donc le point C est situé dans l’intérieur du cercle P. et, par conséquent, les cercles P, P' sont intérieurs l’un à l’autre.

et, par suite.

Théorème V.

532. Deux petits cercles se coupent, lorsque la distance de leurs pôles est plus petite que la somme de leurs distances polaires et en même temps plus grande que leur différence.

Soit PA la distance polaire du premier cercle, que nous supposerons plus grande que celle du second ou qui lui est au

moins égale. Prolongeons PA et prenons sur cet arc, de part et d’autre du point A, deux arcs AB, AC, égaux chacun à la distance polaire du second cercle; l’arc PB sera la somme des distances polaires des deux cercles, PC sera leur différence, et il s’agit de faire voir qu’en prenant pour pôle du second cercle un point de BC, situé

entre B et C, et qu’en décrivant de ce point un cercle, avec la

distance polaire AB, ce cercle coupera le premier.

Or, si l’on prend pour pôle du second cercle le point A, milieu de BC, ce cercle passera par les points B et C ; donc il coupera évidemment le cercle P, puisqu’il aura un point dans l’intérieur de ce cercle et un point à l’extérieur.

En second Heu, si l’on prend pour pôle un point P’, situé entre les points A et B, il est clair que le cercle décrit avec la distance polaire AB coupera Bx en un point et l’arc AC en un autre point; donc le second cercle coupera le premier.

Enfin, si l’on prenait pour pôle un point situé entre les points A et C, il est facile de reconnaître que le second cercle couperait encore le cercle P.

Donc le théorème est démontré.

Remarque I. — Les réciproques des cinq propositions précédentes sont vraies.

Par exemple, si deux petits cercles sont tangents extérieurement et qu’on représente par D, H, r la distance des centres et les deux distances polaires, je dis qu’on aura

Car, si cette relation n’avait pas lieu, on aurait I) > R -f- r,

Alors il s’ensuivrait que les deux petits cercles seraient extérieurs l’un à l’autre, ou tangents intérieurement, ou intérieurs l’un à l’autre, ou qu’ils se couperaient, ce qui est contre i’hypothèse. [Note 8o.]

533. Remarque II. — Connaissant les conditions d’intersection de deux petits cercles, on peut résoudre d’une manière très-simple ce problème; (rouverte rayon d'une sphère donnée.

Prenons sur la surface de la sphère deux points queleon- , — ^ ques A, B, et déterminons sur cette surface

//(■ y\ trois autres points C, D, E, également dis-

i j d tants des deux premiers. Les trois points C,

I o / D, E, ainsi que le centre O de la sphère , se-

* v V‘k JJ ronl s'lui‘s d®05 un même plan, perpendicu-

laire sur le milieu de la droite AB (319); donc C, D, E sont des points d'une circonférence de grand cercle.

Si donc on construit sur un plan un triangle égal au triangle CDE dont on connaît les trois côtés, le rayon du cercle circonscrit à ce triangle sera le rayon de la sphère.

ou a la fois