CHAPITRE II

UES POSITIONS RELATIVES DE DEUX ARCS DE GRANDS CERCLES. - TRIANGLES ET POLYGONES SPHÉRIQUES.

§ I". - ANGLE DE DEUX ARCS DE GRANDS CERCLES ET ARCS DE GRANDS CERCLES PERPENDICULAIRES ENTRE EUX

534. L'angle üe deux arcs de grands cercles AB, AC est l'angle dièdre formé par les plans OA B , OAC de ces arcs. Les arcs AB, AC sont les côtés de l’angle, et leur point de rencontre A en est le sommet.

Deux arcs de grands cercles sont perpen- / diculaires, lorsque leurs plans forment un 1 angle dièdre droit. Dans le cas contraire, les deux arcs sont obliques entre eux.

Remarque I. — Si par le sommet A on mène les droites AD, AE, tangentes aux arcs AB, AC, ces droites seront chacune perpendiculaires au rayon AO, et par conséquent l’angle DAE sera la mesure de l'angle dièdre BAOC ou de l'angle BAC.

Donc on peut dire aussi : que l 'angle de deux arcs de grands cercles est l'angle formé par les tangentes à ces arcs, menées par leur point de rencontre.

Remarque II. — Plus généralement, on appelle angle de deux arcs de cercle quelconques, tracés sur une sphère, l’angle que forment les tangentes menées à ces arcs par leur point de rencontre.

Théorème I.

535. L'angle BAC de deux arcs de grands cercles a pour mesure l'arc de grand cercle BC, décrit de son sommet comme

pôle et compris entre ses côtés AB, AC.

En effet, les arcs AB, AC étant des quadrants, si on mène les rayons OB, OC, les angles AOB, AOC seront droits; donc BOC est l'angle plan qui correspond à l’angle dièdre BAOC. Or, l’angle au centre BOC a pour mesure l’arc BC; donc cet arc est aussi la mesure de l’angle dièdre BAOC ou de i’nngle BAC.

POSITIONS RELATIVES DE DEI’X ARCS DE GRANDS GERCEES. a8ç)

Corollaire. — Ce théorème donne le moyen de mener par le point A un are AC, faisant avec l'arc AB un angle donné.

Remarque. — Les deux angles opposés au sommet BAC, B' AC', sont égaux; cl on voit aussi que les angles adjacents Il AC, CAB', sont supplémentaires. [Note 81.]

Théorème 11.

536. Tout arc de grand cercle PB, mené du / tôle I* il' nu grand cercle à un point quelconque B de sa circon férence, est perpendiculaire sur cette circonférence.

Car, le rayon PO étant perpendiculaire au plan ABC, le plan PBO est aussi perpendiculaire à ce plan (35'»), et par suite l’arc PB est perpendiculaire à la circonférence ABC.

Corollaire. — Par un point donné 1).

mener un arc de grand cercle perpendiculaire ù une circonférence de grand cercle ABC.

Du point I) comme pôle, avec une distance égale à la corde d'un quadrant, je décris un arc qui coupe la circonférence ABC, au point E; puis du point E comme pôle, avec la distance El), je décris l’arc DB, qui sera perpendiculaire à la circonférence ABC.

Remarque. — Si on prolonge l’arc BD jusqu'à ce qu’il rencontre de nouveau la circonférence ABC, au point B’, cet arc passera par le pôle P du cercle ABC, et l’arc DPB' sera encore perpendiculaire à la circonférence ABC. L’arc I)B sera plus petit et l’arc DB' sera plus grand qu'un quadrant.

Si le point D se confondait avec le pôle P, on pourrait du point 1) abaisser sur la circonférence ABC une infinité d’arcs perpendiculaires.

Théorème III.

537. Si, d'un point A de la surface de la sphère, on abaisse sur une circonférence de grand cercle EBE' un arc de grand cercle AB perpendiculaire et moindre qu’un quadrant, puis différents arcs obliques AC, AD, AE,

i” l.’arc perpendiculaire est plus court que tout arc oblique ;

2° Deux arcs obliques AC, Al), qui s'écartent également du pied de l'arc perpendiculaire, sont égaux.

3" De deux aies obliques AC, AE, qui s’écartent inégaie-

Êliments. I g

29O GÉOMÉTRIE DANS l’éSPACE. LIVRE VIII.

nient du pied de l'arc perpendiculaire, celui qui s'en écarte te plus est le plus grand.

Du point A abaissons la droite AF perpendiculaire sur le plan EBE'. Le pied F de cette perpendiculaire tombera sur le p rayon BO(360I, et si on mène les droites

FC, FD, FE, on aura 117)

FB < FC,

FC= FD,

FC < FE.

Maintenant :

1” Puisqu’on a FB FC, la corde AB est plus petite que la corde AC (321 ), et par conséquent l’arc AB est plus petit que l’arc AC.

2" Puisque FC = FD, la corde AC est égale à la corde AD et par suite les arcs AC, AD. sont égaux.

3» Puisqu’on a FE> FC, la corde AEest plus grande que la corde AC, et par conséquent l’arc AE est plus grand que l’arc AC.

Remarque /. — Si on prolongeait les arcs BA, CA, DA, EA, jusqu’à la rencontre de la circonférence EBE', aux points B', C', l)', E', les arcs AB', AC', AD', AE', seraient respectivement les suppléments des premiers et on aurait