On appelle face de la sphère

triangle sphérique une portion de la surtellc que ABC, comprise entre trois arcs de grands cercles.

Ces arcs sont les côtés du triangle et les angles formés par ces arcs en sont les angles.

Un triangle sphérique est isocèle, éqni/utéral, rectangle dans les mêmes cas qu’un triangle rectiligne.

TRIANGLES ET POLYGONES SrilÊRIQIES. T<JI

Remarque I. — On supposera toujours dans la suite que chacun des côtés d'un triangle sphérique est moindre qu’une demi-circonférence. Ainsi, par triangle sphérique, il ne faudra pas entendre une portion de la surface de la sphère, telle que ABC'B'C comprise entre les trois arcs AB, AC et BC'B'C.

On voit aussi que les trois arcs AB, AC, BC, moindres chacun qu’une demi-circonférence, décomposent la surface de la sphère en deux parties dont l’une ABC est tout entière d’un même côté du plan de chacun des arcs AB, AC, BC, et dont l’autre ne jouit pas de cette propriété. Mais, lorsqu’on parlera du triangle sphérique ABC, il est clair qu’il s'agira de la première de ces deux parties.

539. Remarque //. — Si on joint les trois sommets A, B, C, au centre de la sphère, on déterminera un angle trièdre OABC, dont les angles plans auront pour mesures respectives les côtés du triangle ABC et dont les angles dièdres ne seront autres que les angles de ce même triangle; d’où il suit qu’à chaque propriété de l’angle trièdre correspond une propriété analogue du triangle.

540. Soit un triangle sphérique ABC ; prolongeons les rayons AO, BO, CO, jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la surface de la sphère en A', B', C', et menons les arcs de grands cercles A'C', A'B', C'B'. Les angles trièdres OABC, OA'B'C', seront sf'\ ) symétriques (382), et par conséquent les -•*5 triangles ABC, A'B'C', auront tous leurs éléments égaux chacun à chacun.

De plus, le triangle A’B'C' ne pourra pas, en général, coïncider avec le triangle ABC. Car, si on fait glisser le triangle A' B'C' sur la surface de la sphère jusqu’à ce que l’angle B' s’applique sur son égal B, le côté B'C' se placera sur le côtéBA, qui n’est pas son égal.

Les deux triangles ABC, A'B'C', sont dits symétriques , quelles que soient d’ailleurs les positions respectives de ces triangles sur la surface de la sphère.

Remarque I. — De ce que les angles trièdres OABC, OA'B'C', sont syméli iques, on aurait pu conclure immédiatement qu’en général les triangles ABC, A'B'C', ne pouvaient pas coïncider. Car, si les triangles ABC, A'B'C', pouvaient coïncider, les deux angles trièdres coïncideraient pareillement, ce qui est impossible.

Remarque II. — Lorsque le triangle ABC est isocèle et qu’on a, par exemple, AB = BC, les deux triangles ABC, A'B'C', peuvent se superposer.

541. Un polygone sphérique est une porlion ABCD de la surface de la sphère, comprise entre plusieurs arcs de grands cercles. Ainsi le triangle sphérique est un polygone sphérique de trois côtés.

Si on prolonge les rayons AO, BO, CO, 1)0, jusqu’à ce qu'ils rencontrent de nouveau la surface de la sphère en A', B', C', !>', et qu’on mène les arcs de grands cercles A'B\ B'C', C'D', D'A', les polygones ABC1), A'B'C'D', seront symétriques.

Remarque. — Nous ne considérerons que des polygones sphériques convexes, c’est-à-dire tels, qu’ils soient situés tout entiers d’un même côté du plan de chacun des aies qui forment le contour du polygone.

Des côtés et des angles d'un triangle sphérique.

Théorème 1.

542. Un côté quelconque d’un triangle sphérique ABC est plus petit que la somme des deux autres.

Car l’arc de grand cercle AC, par exemple, est le [dus court chemin du point A au point C, sur la surface de la sphère (525); donc on a

AC< AB-t-BC.

Corollaire. — Un côté quelconque d’un triangle sphérique est plus grand que la différence des deux • autres.

Remarque. — On peut démontrer ce théorème, en joignant les sommets A, B, C, au centre O de la sphère. On forme ainsi un angle trièdre OABC et on a

AOC < AOB -+- BOC :

mais les angles au centre AOC, AOB, BOC, ont pour mesures les arcs AC, AB, BC; donc on a aussi

Théorème 11.

543. La somme des trois côtés d'un triangle sphérique ABC est moindre qu’une circonférence de grand cercle.

Prolongeons les côtés AB, AC, jusqu'à ce qu'ils se rencontrent de nouveau au point 1). Dans le triangle BCD. on aura

BC < BD -h CD,