POSITIONS RELATIVES DE DEUX CIRCONFÉRENCES

En effet, le point B est situé dans l'intérieur de la circonférence O; d’ailleurs O B est la plus grande droite qu’on puisse mener du point O à la circonférence O'; donc tous les points de cette dernière circonférence sont situés dan; l’intérieur de la circonférence O. Donc le; deux circonférences sont intérieures l’une à l’autre.

Remarque. — Réciproquement, si deux circonférences O, O', sont intérieures l’une à l’autre, la distance des centres est plut petite que la différence des rayons.

Car la droite 00' prolongée coupe la première circonférence au point A et la seconde au point B, et la différence des rayons OA — O’ B = 00' AB ; donc on a

Théorème V.

41. Lorsque la distance des centres de deux circonférences est plus petite que la somme de leurs rayons et en même temps plus grande que leur différence , ces deux circonférences se coupent.

Car, si elles étaient tangentes extérieurement ou extérieures l’une à l’autre, la distance des centres serait égale à la sômme des rayons ou plus grande que cette somme, ce qui est contraire à la première partie de l’hypothèse; et, si elles étaient tangentes intérieurement ou intérieures l’une à l’autre, la distance des centres serait égale à la différence des rayons ou plus petite que cette différence, ce qui est contraire à la seconde partie de l'hypothèse.

Ainsi, les deux circonférences ne peuvent avoir aucune des quatre positions qu’on vient de considérer; donc ces circonférences se coupent.

Remarque. — Réciproquement, si deux circonférences se coupent, la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et en même temps plus grande que leur différence.

D’abord, si deux circonférences se coupent, la distance des centres est plus petite que la somme des rayons. Car si elle était égale à la somme des rayons ou plus grande que celte somme, les deux circonférences seraient tangentes extérieurement ou extérieures l’une à l’autre, ce qui est contre l’hypothèse.

De plus, la distance des centres doit être plus grande que la différence des rayons. Car si elle était égale à la différence des rayons ou plus petite que cette différence, les deux cir-

conférences seraient tangentes intérieurement ou intérieures l’une à l’autre, ce qui est encore contre l’hypothèse.

Donc la proposition est démontrée. [Notes 3 et 4*]